Matrizen und ihre Anwendungen 2

VII. Kapitel. Grundzüge der Matrizennumerik.- § 24. Grundbegriffe und einfache Rechenregeln.- . 24.1. Reine Mathematik, Numerische Mathematik und Angewandte Mathematik. Einige Vorbemerkungen.- . 24.2. Die Länge einer Operationskette. Vorwärts- und Rückwärtsrechnen.- 24.3. Verfahren mit Vorgabeverlust.- 24.4. Matrizen mit ausgeprägtem Profil.- . 24.5. Die fünf Lesearten eines Matrizenproduktes.- 24.6. Die Matrizenmultiplikation von Winograd.- 24.7. Die geometrische Reihe.- 24.8. Blockspektralmatrix und Blockmodalmatrix.- 24.9. Der Sylvester-Test für herrnitesche Paare.- 24.10. Die additive Zerlegung einer hermiteschen Matrix.- 24.11. Taylor-Entwicklung einer Parametermatrix. Ableitung der charakteristischen Gleichung.- . 24.12. Konstruktion von Matrizen mit vorgegebenen Eigenschaften. Testmatrizen.- 24.13. Skalierung einer Zahlenfolge. Die ?-Jordan-Matrix.- . 24.14. Fokussierung.- . 24.15. Rechenaufwand für die gebräuchlichsten Matrizenoperationen.- § 25. Norm, Kondition, Korrektur und Defekt.- . 25.1. Die Norm eines Vektors.- . 25.2. Die Norm einer Matrix.- . 25.3. Norm und Eigenwertabschätzung.- 25.4. Das normierte Defektquadrat (Norm III).- 25.5. Die Kondition einer Matrix. Skalierung. Sensibilität.- . 25.6. Defekt und Korrektur.- § 26. Kondensation und Ritzsches Verfahren.- . 26.1. Die Matrizenhauptgleichung und der Alternativsatz. Resonanz und Scheinresonanz.- . 26.2. Kondensation als Teil für das Ganze.- . 26.3. Hermitesche Paare. Der Trennungssatz.- 26.4. Hermitesche Kondensation.- . 26.5. Lokaler Zerfall einer Parametermatrix. Bereinigung. Die Zentralgleichung.- 26.6. Zentraltransformation und Minimumvektor. Splitten eines Vektors.- 26.7. Die Optimaltransformation.- . 26.8. Kondensation einer quadratischen Form.- VIII. Kapitel. Theorie und Praxis der Transformationen.- § 27. Eine allgemeine Transformationstheorie.- . 27.1. Überblick. Zielsetzung.- . 27.2. Äquivalenz und Ähnlichkeit (Kongruenz).- . 27.3. Das Generalschema einer multiplikativen Transformation.- 27.4. Der Transport durch die Informationsklammer. Phantommatrix.- 27.5. Diskrepanz und Regeneration.- 27.6. Die Zurücknahme einer Äquivalenztransformation.- 27.7. Unitäre (orthonormierte) Transformation.- 27.8. Dyadische Transformationsmatrizen.- 27.9. Unvollständige und vollständige Reduktion eines Vektors. Der ?-Kalfaktor.- 27.10. Der Mechanismus der multiplikativen Transformation.- 27.11. Progressive Transformationen.- § 28. Äquivalenztransformation auf Diagonalmatrix.- . 28.1. Aufgabenstellung.- . 28.2. Direkte und indirekte linksseitige Äquivalenztransformation auf Diagonalmatrix.- 28.3. Die linksseitige Äquivalenztransformation auf obere Dreiecksmatrix.- 28.4. Singuläre Matrix. Rangbestimmung.- . 28.5. Die Rechtstransformation auf Diagonalmatrix. Normalform.- . 28.6. Hermitesche und positiv definite Matrix.- . 28.7. Die dyadische Zerlegung von Banachiewicz und Cholesky.- 28.8. Die Normalform eines diagonalähnlichen Matrizentupels.- § 29. Ähnlichkeitstransformation auf Fastdreiecksmatrix.- . 29.1. Aufgabenstellung.- . 29.2. Der Mechanismus einer multiplikativen Ähnlichkeitstransformation.- . 29.3. Multiplikative Transformation auf Hessenberg-Form.- 29.4. Multiplikative Transformation auf Tridiagonalform.- 29.5. Multiplikative Transformation auf Kodiagonalform.- . 29.6. Multiplikative Transformation eines hermiteschen Paares auf Tridiagonalform.- 29.7. Progressive Transformation auf Kodiagonalform (Begleitmatrix).- 29.8. Progressive Transformation eines hermiteschen Paares auf Tridiagonalform.- 29.9. Der Zerfall einer Fastdreiecksmatrix.- 30. Iterative Ähnlichkeitstransformation auf Dreiecks- bzw. Diagonalform.- . 30.1. Überblick. Zielsetzung.- . 30.2. Transformation in Unterräumen. Die Elementar-transformation.- . 30.3. Das explizite Jacobi-Verfahren.- 30.4. Das halbimplizite Jacobi-Verfahren für beliebige Paare G;D.- 30.5. Das halbimplizite Jacobi-Verfahren für beliebige Paare A,B.- 30.6. Die Regeneration (Auffrischung) des Jacobi-Verfahrens. Abgeänderte (benachbarte, gestörte) Paare.- 30.7. Jacobi-ähnliche Transformationen. Zusammenfassung.- IX. Kapitel. Lineare Gleichungen und Kehrmatrix.- 31. Einschließung und Fehlerabschätzung. Kondition.- . 31.1. Defekt und Korrektur.- . 31.2. Einschließung mittels hermitescher Kondensation (Spektralnorm).- . 31.3. Einschließung bei diagonaldominanter Matrix.- . 31.4. Stabilisierung schlecht bestimmter Gleichungssysteme.- § 32. Endliche Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme.- . 32.1. Zielsetzung. "Endlichkeit" der Methode.- . 32.2. Ein- und zweiseitige Transformation.- . 32.3. Der Gaußsche Algorithmus in Blöcken.- 32.4. Partitionierung einer Block-Hessenberg-Matrix.- 32.5. Partitionierung einer Blocktridiagonalmatrix.- . 32.6. Vierteilung einer Bandmatrix.- 32.7. Die Äquivalenztransformation als dyadische Zerlegung. Exogene und endogene Algorithmen.- 32.8. Die Kongruenztransformation als dyadische Zerlegung. Das Verfahren von Hestenes und Stiefel.- 32.9. Mehrschrittverfahren.- . 32.10. Zusammenfassung.- § 33. Iterative und halbiterative Methoden zur Auflösung von linearen Gleichungssystemen.- . 33.1. Allgemeines. Überblick.- . 33.2. Stationäre Treppeniteration (Gauß-Seidel-ähnliche Verfahren).- 33.3. Instationäre Treppeniteration. Der Algorithmus "Siebenmeilenstiefel".- . 33.4. Korrektur und Diskrepanz. Nachiteration.- . 33.5. Abgeänderte (benachbarte, gestörte) Gleichungssysteme.- 33.6. Der restringierte Ritz-Ansatz.- 33.7. Das normierte Defektquadrat.- 33.8. Der zyklisch fortgesetzte Ritz-Ansatz. Minimalrelaxation.- 33.9. Über- und ünterrelaxation.- 33.10. Der vollständige Ritz-Ansatz.- 33.11. Eine generelle Kritik.- . 33.12. Der Algorithmus Rapido/Rapidissimo.- . 33.13. Nochmals Nachiteration. Abgeänderte (benachbarte, gestörte) Gleichungssysteme.- . 33.14. Zusammenfassung.- § 34. Kehrmatrix. Endliche und iterative Methoden.- . 34.1. Übersicht. Zielsetzung.- . 34.2. Auflösung des GleichungssystemsAK = I.- . 34.3. Die Eskalatormethode der sukzessiven Ränderung.- 34.4. Das Verfahren von Schulz.- 34.5. Einschließung der Elemente einer Kehrmatrix.- X. Kapitel. Die lineare Eigenwertaufgabe.- § 35. Spektralumordnung und Partitionierung.- . 35.1. Überblick. Zielsetzung.- . 35.2. Umordnung des Spektrums mit Hilfe von Matrizenfunktionen. Schiftstrategien.- 35.3. Umordnung des Spektrums mit Hilfe von Eigendyaden. Deflation.- . 35.4. Partitionierung durch unvollständige Hauptachsentransformation. Ordnungserniedrigung.- . 35.5. Elementarmatrizen und Austauschverfahren.- . 35.6. Sukzessive Auslöschung. Produktzerlegung der Modalmatrizen.- 35.7. Bereinigung und lokaler Zerfall einer Matrix.- . 35.8. Besonderheiten bei singulärer Matrix ß.- 35.9. Transformation auf obere Dreiecksmatrix.- . 35.10. Einführung von Linkseigenvektoren.- § 36. Einschließungssätze für Eigenwerte und Eigenvektoren.- . 36.1. Überblick. Wozu Einschließungssätze?.- . 36.2. Die Sätze von Gerschgorin und Heinrich. Der Kreisringsatz.- 36.3. Einschließung isolierbarer Eigenwerte bei Diagonaldominanz.- . 36.4. Quotientensätze. Der Rayleigh-Quotient.- . 36.5. Der Satz von Krylov und Bogoljubov und seine Verschärfung von Temple.- . 36.6. Der Perturbationssatz für hermitesche Paare.- . 36.7. Der Satz Acta Mechanica für hermitesche positiv definite Paare.- . 36.8. Der Satz Acta Mechanica für normale Paare.- . 36.9. Der Satz Acta Mechanica mit vorgezogener Zentraltransformation.- . 36.10. Der Determinantensatz.- 36.11. Komponentenweise Einschließung von Eigenvektoren normaler Paare.- 36.12. Einschließung bei Mammutmatrizen.- . 36.13. Zusammenfassung. Schlußbemerkung.- § 37. Determinantenalgorithmen.- . 37.1. Übersicht.- . 37.2. Die direkte Methode. Explizites und implizites Vorgehen.- 37.3. Systematisierte Suchmethoden.- . 37.4. Die Ritz-Iteration.- 37.5. Ritz-Iteration mit vorgezogener Zentraltransformation.- 37.6. Der Algorithmus Bonaventura.- . 37.7. Der Algorithmus Securitas. Gleichmäßige Konvergenz gegen das Spektrum.- 37.8. Der Algorithmus Securitas für singuläre Paare.- 37.9. Einige Varianten zum Algorithmus Securitas.- . 37.10. Iterative Einschließung von Eigenwerten.- 37.11. Ein Nachtrag.- § 38. Extremalalgorithmen.- . 38.1. Das Prinzip. Überblick.- 38.2. Koordinatenrelaxation bei hermiteschen Paaren.- . 38.3. Defektminimierung durch Schaukeliteration.- 38.4. Weitere Extremalalgorithmen. Schlußbemerkung.- § 39. Unterraumtransformationen.- 39.1. Das Prinzip.- 39.2. Kongruenztransformationen mit Jacobi-Strategie.- 39.3. Ähnlichkeitstransformationen mit Jacobi-Strategie.- 39.4. Schlußbemerkung.- § 40. Potenzalgorithmen.- . 40.1. Die Potenziteration nach von Mises.- . 40.2. Die Potenziteration für Matrizenpaare.- . 40.3. Simultaniteration.- . 40.4. Iteration gegen Linkseigenvektoren. Verbesserter Ritz-Ansatz und Spektralumordnung.- . 40.5. Die inverse (gebrochene) Iteration von Wielandt.- 40.6. Maßnahmen zur Konvergenzbeschleunigung.- 40.7. Ritz-Ansatz oder Orthonormierung ? Ein Kompromiß.- 40.8. Simultaniteration mit n Startvektoren. Direkte Unitarisierung.- 40.9. Dreiecks- und Diagonalalgorithmen.- 40.10. Äquivalenztransformation auf obere Dreiecksmatrix.- 40.11. Ähnlichkeitstransformation auf obere Dreiecksmatrix.- 40.12. Kongruenztransformation hermitescher Paare auf Diagonalmatrix.- 40.13. Transformation auf obere Blockdreiecksmatrix.- 40.14. Dreiecks- und Diagonalalgorithmen mit progressivem Schift.- 40.15. Sukzessive Ordnungserniedrigung oder gleichmäßige Konvergenz gegen das Spektrum ?.- . 40.16. Gleichmäßige Konvergenz gegen das Spektrum durch partielle Ähnlichkeitstransformation.- 40.17. Die Transformation singulärer Matrizen auf Normalform.- . 40.18. Der WSS-Algorithmus (Wielandt-Iteration mit sequentiellem Schift).- . 40.19. Der WSS-Algorithmus für normale Paare.- . 40.20. Der Globalalgorithmus Velocitas.- 40.21. Singuläre Paare.- . Resümee zum X. Kapitel. Was will der Praktiker?.- XI. Kapitel. Die nichtlineare Eigenwertaufgabe.- §41. Die nichtlineare Eigenwertaufgabe mit einem Parameter.- . 41.1. Überblick. Zielsetzung.- 41.2. Polynommatrizen. Expansion.- 41.3. Parameterdiagonalähnliche und parameternormale Polynommatrizen.- 41.4. Die Bequemlichkeitshypothese. (Modale Dämpfung).- . 41.5. Der Algorithmus Bonaventura.- . 41.6. Die Taylor-Entwicklung des Schur-Komplements. (Der T-S-Algorithmus).- 41.7. Der T-S-Algorithmus mit höheren Ableitungen.- . 41.8. Defektminimierung.- 41.9. Parameterabhängige Transformationsmatrizen.- 41.10. Einschließungssätze.- . 41.11. Zusammenfassung und Ausblick.- § 42. Das mehrparametrige Eigenwertproblem.- . 42.1. Aufgabenstellung. Probleme und Begriffe.- 42.2. Parameterdiagonalähnliche und parameternormale Matrizen.- . 42.3. Das zweiparametrige Eigenwertproblem.- XII. Kapitel. Matrizen in der Angewandten Mathematik und Mechanik.- §43. Auflösung skalarer Gleichungen durch Expansion. Der Eigenwertalgorithmus ECP.- . 43.1. Problemstellung.- . 43.2. Lösung algebraischer Gleichungen durch Diagonalexpansion.- . 43.3. Einschließung von Nullstellen.- . 43.4. Die inverse Iteration von Wielandt.- . 43.5. Ritz-Iteration und Bonaventura.- . 43.6. Iterative Einschließung und sukzessive Aktualisierung. Globalalgorithmus.- . 43.7. Der Eigenwertalgorithmus ECP (Expansion des charakteristischen Polynoms).- . 43.8. Zur Wahl der Stützwerte.- . 43.9. Zusammenfassung.- . Resümee zu den numerischen Methoden.- § 44. Die linearisierte Mechanik von Starrkörperverbänden.- . 44.1. Die linearisierte Mechanik.- . 44.2. Der frei bewegliche Verband von starren Körpern.- . 44.3. Offene und geschlossene Schreibweise. Elimination und Kondensation.- 44.4. Bindungen und Reaktionen.- . 44.5. Die ebene Gelenkkette.- § 45. Diskretisiening und Finitisierung hybrider Strukturen.- . 45.1. Problemstellung.- . 45.2. Diskrete Modelle.- . 45.3. Der Übergang zum Kontinuum.- . 45.4. Finite Übersetzungen.- . 45.5. Hybride Systeme.- . 45.6. Finite-Elemente-Methoden (FEM).- . 45.7. Zusammenschau.- Literatur zu Teil 1 und Teil 2.- Namen- und Sachverzeichnis.