Randelementmethoden

1 Einführung.- 1.1 Das Konzept der Randelementmethode.- 1.1.1 Grundbegriffe.- 1.1.2 Ein physikalisches Beispiel.- 1.1.3 Fundamentallösungen.- 1.1.4 Potentiale und Randintegraloperatoren.- 1.2 Numerik von Randintegralgleichungen.- 1.2.1 Galerkin-Verfahren.- 1.2.2 Effiziente Verfahren zur Lösung der Galerkin-Gleichungen.- 1.2.2.1 Quadraturverfahren.- 1.2.2.2 Lösen des linearen Gleichungssystems.- 1.2.2.3 Panel-Clustering.- 2 Elliptische Differentialgleichungen.- 2.1 Funktionalanalytische Grundlagen.- 2.1.1 Banach- und Hilbert-Räume.- 2.1.1.1 Normierte Räume.- 2.1.1.2 Lineare Operatoren.- 2.1.1.3 Banach-Räume.- 2.1.1.4 Einbettungen.- 2.1.1.5 Hilbert-Räume.- 2.1.2 Dualräume.- 2.1.2.1 Dualraum eines normierten, linearen Raumes.- 2.1.2.2 Dualer Operator.- 2.1.2.3 Adjungierter Operator.- 2.1.2.4 Gelfand-Dreier.- 2.1.2.5 Schwache Konvergenz.- 2.1.3 Kompakte Operatoren.- 2.1.4 Fredholm-Riesz-Schauder-Theorie.- 2.1.5 Bilinear- und Sesquilinearformen.- 2.1.6 Existenzsätze.- 2.1.7 Interpolationsräume.- 2.2 Geometrische Grundlagen.- 2.2.1 Funktionenräume.- 2.2.2 Glattheit von Gebieten.- 2.2.3 Normalenvektoren.- 2.2.4 Randintegrale.- 2.3 Sobolev-Räume auf Gebieten ?.- 2.4 Sobolev-Räume auf Oberflächen ?.- 2.4.1 Definition der Sobolev-Räume auf ?.- 2.4.2 Sobolev-Räume auf ?0 ? ?.- 2.5 Einbettungssätze.- 2.6 Spur-Operatoren.- 2.7 Greensche Formeln und Normalenableitungen.- 2.8 Der Lösungsoperator.- 2.9 Elliptische Randwertprobleme.- 2.9.1 Klassische Formulierung elliptischer Randwertprobleme.- 2.9.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).- 2.9.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).- 2.9.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).- 2.9.1.4 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP).- 2.9.1.5 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP).- 2.9.1.6 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP).- 2.9.1.7 Transmissionsproblem (TP).- 2.9.2 Variationsformulierung elliptischer Randwertprobleme.- 2.9.2.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).- 2.9.2.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).- 2.9.2.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).- 2.9.2.4 Funktionenräume für Außenraumprobleme.- 2.9.2.5 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP).- 2.9.2.6 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP).- 2.9.2.7 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP).- 2.9.2.8 Transmissionsproblem (TP).- 2.9.3 Äquivalenz von starker und schwacher Formulierung.- 2.9.3.1 Innenraumprobleme.- 2.9.3.2 Außenraumprobleme.- 2.10 Existenz und Eindeutigkeit.- 2.10.1 Innenraumprobleme.- 2.10.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem.- 2.10.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem.- 2.10.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem.- 2.10.2 Außenraumprobleme.- 2.10.2.1 Allgemeiner elliptischer Operator mit aminc ?b?2.- 2.10.2.2 Laplace-Operator.- 2.10.2.3 Helmholtz-Gleichung.- 3 Elliptische Randintegralgleichungen.- 3.1 Randintegraloperatoren.- 3.1.1 Das Newton-Potential.- 3.1.2 Abbildungseigenschaften der Randintegraloperatoren.- 3.2 Regularität der Lösungen der Randintegralgleichungen.- 3.3 Sprungrelationen und Darstellungsformeln.- 3.3.1 Sprungeigenschaften der Potentiale.- 3.3.2 Explizite Darstellung des Randintegraloperators V.- 3.3.3 Explizite Darstellungen der Randintegraloperatoren K und K?.- 3.3.4 Explizite Darstellung des Randintegraloperators W.- 3.4 Integralgleichungen für elliptische Randwertprobleme.- 3.4.1 Die indirekte Methode.- 3.4.1.1 Innenraumprobleme.- 3.4.1.2 Außenraumprobleme.- 3.4.1.3 Transmissionsproblem.- 3.4.2 Die direkte Methode.- 3.4.2.1 Innenraumprobleme.- 3.4.2.2 Außenraumprobleme.- 3.4.3 Vergleich der direkten und indirekten Formulierungen.- 3.5 Eindeutige Lösbarkeit der Randintegralgleichungen.- 3.5.1 Existenz und Eindeutigkeit für geschlossene Oberflächen und Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen.- 3.5.2 Existenz- und Eindeutigkeit für das gemischte Randwertproblem.- 3.5.3 Schirmproblem.- 3.6 Calderón-Projektor.- 3.7 Poincaré-Steklov-Operator.- 3.8 Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art.- 3.9 Randintegralgleichunge

Prof. Dr. Stefan Sauter, Universität Zürich
Prof. Dr. Christoph Schwab, ETHZ Zürich

"This is an excellent textbook directed to students in mathematics, physics and engineering, which serves as an introduction for non-specialists to the development, analysis and implementation of efficient numerical methods for the solution of boundary integral solutions."
Zentralblatt MATH, 1059, 10/2005