Randelementmethoden

1 Einführung.
- 1.1 Das Konzept der Randelementmethode.
- 1.1.1 Grundbegriffe.
- 1.1.2 Ein physikalisches Beispiel.
- 1.1.3 Fundamentallösungen.
- 1.1.4 Potentiale und Randintegraloperatoren.
- 1.2 Numerik von Randintegralgleichungen.
- 1.2.1 Galerkin-Verfahren.
- 1.2.2 Effiziente Verfahren zur Lösung der Galerkin-Gleichungen.
- 1.2.2.1 Quadraturverfahren.
- 1.2.2.2 Lösen des linearen Gleichungssystems.
- 1.2.2.3 Panel-Clustering.- 2 Elliptische Differentialgleichungen.
- 2.1 Funktionalanalytische Grundlagen.
- 2.1.1 Banach- und Hilbert-Räume.
- 2.1.1.1 Normierte Räume.
- 2.1.1.2 Lineare Operatoren.
- 2.1.1.3 Banach-Räume.
- 2.1.1.4 Einbettungen.
- 2.1.1.5 Hilbert-Räume.
- 2.1.2 Dualräume.
- 2.1.2.1 Dualraum eines normierten, linearen Raumes.
- 2.1.2.2 Dualer Operator.
- 2.1.2.3 Adjungierter Operator.
- 2.1.2.4 Gelfand-Dreier.
- 2.1.2.5 Schwache Konvergenz.
- 2.1.3 Kompakte Operatoren.
- 2.1.4 Fredholm-Riesz-Schauder-Theorie.
- 2.1.5 Bilinear- und Sesquilinearformen.
- 2.1.6 Existenzsätze.
- 2.1.7 Interpolationsräume.
- 2.2 Geometrische Grundlagen.
- 2.2.1 Funktionenräume.
- 2.2.2 Glattheit von Gebieten.
- 2.2.3 Normalenvektoren.
- 2.2.4 Randintegrale.
- 2.3 Sobolev-Räume auf Gebieten ?.
- 2.4 Sobolev-Räume auf Oberflächen ?.
- 2.4.1 Definition der Sobolev-Räume auf ?.
- 2.4.2 Sobolev-Räume auf ?0 ? ?.
- 2.5 Einbettungssätze.
- 2.6 Spur-Operatoren.
- 2.7 Greensche Formeln und Normalenableitungen.
- 2.8 Der Lösungsoperator.
- 2.9 Elliptische Randwertprobleme.
- 2.9.1 Klassische Formulierung elliptischer Randwertprobleme.
- 2.9.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).
- 2.9.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).
- 2.9.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).
- 2.9.1.4 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP).
- 2.9.1.5 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP).
- 2.9.1.6 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP).
- 2.9.1.7 Transmissionsproblem (TP).
- 2.9.2 Variationsformulierung elliptischer Randwertprobleme.
- 2.9.2.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).
- 2.9.2.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).
- 2.9.2.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).
- 2.9.2.4 Funktionenräume für Außenraumprobleme.
- 2.9.2.5 Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP).
- 2.9.2.6 Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP).
- 2.9.2.7 Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP).
- 2.9.2.8 Transmissionsproblem (TP).
- 2.9.3 Äquivalenz von starker und schwacher Formulierung.
- 2.9.3.1 Innenraumprobleme.
- 2.9.3.2 Außenraumprobleme.
- 2.10 Existenz und Eindeutigkeit.
- 2.10.1 Innenraumprobleme.
- 2.10.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem.
- 2.10.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem.
- 2.10.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem.
- 2.10.2 Außenraumprobleme.
- 2.10.2.1 Allgemeiner elliptischer Operator mit aminc > ?b?2.
- 2.10.2.2 Laplace-Operator.
- 2.10.2.3 Helmholtz-Gleichung.- 3 Elliptische Randintegralgleichungen.
- 3.1 Randintegraloperatoren.
- 3.1.1 Das Newton-Potential.
- 3.1.2 Abbildungseigenschaften der Randintegraloperatoren.
- 3.2 Regularität der Lösungen der Randintegralgleichungen.
- 3.3 Sprungrelationen und Darstellungsformeln.
- 3.3.1 Sprungeigenschaften der Potentiale.
- 3.3.2 Explizite Darstellung des Randintegraloperators V.
- 3.3.3 Explizite Darstellungen der Randintegraloperatoren K und K?.
- 3.3.4 Explizite Darstellung des Randintegraloperators W.
- 3.4 Integralgleichungen für elliptische Randwertprobleme.
- 3.4.1 Die indirekte Methode.
- 3.4.1.1 Innenraumprobleme.
- 3.4.1.2 Außenraumprobleme.
- 3.4.1.3 Transmissionsproblem.
- 3.4.2 Die direkte Methode.
- 3.4.2.1 Innenraumprobleme.
- 3.4.2.2 Außenraumprobleme.
- 3.4.3 Vergleich der direkten und indirekten Formulierungen.
- 3.5 Eindeutige Lösbarkeit der Randintegralgleichungen.
- 3.5.1 Existenz und Eindeutigkeit für geschlossene Oberflächen und Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen.
- 3.5.2 Existenz- und Eindeutigkeit für das gemischte Randwertproblem.
- 3.5.3 Schirmproblem.
- 3.6 Calderón-Projektor.
- 3.7 Poincaré-Steklov-Operator.
- 3.8 Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art.
- 3.9 Randintegralgleichungen zur Helmholtz-Gleichung.
- 3.9.1 Helmholtz-Gleichung.
- 3.9.2 Integralgleichungen und Resonanzen.
- 3.9.3 Existenz von Lösungen des Aussenraumproblems.
- 3.9.4 Modifizierte Randintegralgleichungen.- 4 Randelementmethoden.
- 4.1 Randelemente für die Potentialgleichung in ?3.
- 4.1.1 Modellproblem
1: Dirichlet-Problem.
- 4.1.2 Paneelierungen.
- 4.1.3 Unstetige Randelemente.
- 4.1.4 Galerkin-Randelementmethode.
- 4.1.5 Konvergenzrate unstetiger Randelemente.
- 4.1.6 Modellproblem
2: Neumann Problem.
- 4.1.7 Stetige Randelemente.
- 4.1.8 Galerkin-BEM mit stetigen Randelementen.
- 4.1.9 Konvergenzraten mit stetigen Randelementen.
- 4.1.10 Modellproblem
3: Gemischtes Randwertproblem.
- 4.1.11 Modellproblem
4: Schirmprobleme.
- 4.2 Konvergenz abstrakter Galerkin-Verfahren.
- 4.2.1 Abstraktes Variationsproblem.
- 4.2.2 Galerkin-Approximation.
- 4.2.3 Kompakte Störungen.
- 4.2.4 Konsistente Störungen. Lemma von Strang.
- 4.2.5 Aubin-Nitsche-Dualitätstechnik.
- 4.2.5.1 Fehler in Funktionalen der Lösung.
- 4.2.5.2 Störungen.
- 4.3 Beweis der Approximationseigenschaft.
- 4.3.1 Approximationseigenschaften auf ebenen Paneelen.
- 4.3.2 Approximation auf gekrümmten Paneelen.
- 4.3.3 Stetigkeit von Funktionen in Hstws (?) für s > 1.
- 4.3.4 Approximationseigenschaften von SGp,?1.
- 4.3.5 Approximationseigenschaften von SGp,0.
- 4.4 Inverse Abschätzungen.
- 4.5 Kondition der Systemmatrizen.- 5 Berechnung der Matrixkoeffizienten.
- 5.1 Kernfunktionen und stark singuläre Integrale.
- 5.1.1 Geometrische Voraussetzungen.
- 5.1.2 Cauchy-singuläre Integrale.
- 5.1.3 Explizite Voraussetzungen an Cauchy-singuläre Kernfunktionen.
- 5.1.4 Kernfunktionen in lokalen Koordinaten.
- 5.2 Relativkoordinaten.
- 5.2.1 Der Fall identischer Paneele.
- 5.2.2 Der Fall einer gemeinsamen Kante.
- 5.2.3 Der Fall eines gemeinsamen Punktes.
- 5.2.4 Überblick: Regularisierende Koordinatentransformationen.
- 5.2.5 Berechnung der rechten Seite und des integralfreien Terms.
- 5.3 Numerische Integration.
- 5.3.1 Numerische Quadraturverfahren.
- 5.3.1.1 Einfache Quadraturverfahren.
- 5.3.1.2 Tensor-Gauß-Quadratur.
- 5.3.2 Lokale Quadraturfehlerabschätzungen.
- 5.3.2.1 Lokale Fehlerabschätzungen für einfache Quadraturverfahren..
- 5.3.2.2 Ableitungsfreie Quadraturfehlerabschätzungen für analytische Integranden.
- 5.3.2.3 Abschätzung der Analytizitätsellipsen der regularisierten Integranden.
- 5.3.2.4 Quadraturordnungen für regularisierte Kernfunktionen.
- 5.3.3 Einfluß der Quadratur auf den Diskretisierungsfehler.
- 5.3.4 Überblick über die Quadraturordnungen für das Galerkin-Verfahren mit Quadratur.
- 5.3.4.1 Integralgleichungen negativer Ordnung.
- 5.3.4.2 Gleichungen nullter Ordnung.
- 5.3.4.3 Gleichungen positiver Ordnung.- 6 Lösung der linearen Gleichungssysteme.
- 6.1 cg-Verfahren.
- 6.1.1 cg-Grundalgorithmus.
- 6.1.2 Vorkonditionierungsverfahren.
- 6.1.3 Orthogonalitätsrelationen.
- 6.1.4 Konvergenzrate des cg-Verfahrens.
- 6.1.5 Verallgemeinerungen.
- 6.2 Abstiegsverfahren für nichtsymmetrische Systeme.
- 6.2.1 Abstiegsverfahren.
- 6.2.2 Konvergenzrate von MR und Orthomin(k).
- 6.3 Iterative Löser für Gleichungen negativer Ordnung.
- 6.4 Iterative Löser für Gleichungen positiver Ordnung.
- 6.4.1 Integralgleichungen positiver Ordnung.
- 6.4.2 Iterationsverfahren.
- 6.4.3 Mehrgitterverfahren.
- 6.4.3.1 Motivation.
- 6.4.3.2 Mehrgitteralgorithmus für Integralgleichungen positiver Ordnung.
- 6.4.3.3 Geschachtelte Iteration.
- 6.4.3.4 Konvergenzanalyse für Mehrgitterverfahren.
- 6.5 Mehrgitterverfahren für Gleichungen negativer Ordnung.- 7 Panel-Clustering.
- 7.1 Der Panel-Clustering-Algorithmus.
- 7.1.1 Voraussetzungen an den Integraloperator.
- 7.1.2 Clusterbaum und zulässige Überdeckung.
- 7.1.3 Approximation der Kernfunktion.
- 7.1.3.1 ?ebySev-Interpolation.
- 7.1.3.2 Multipol-Entwicklung.
- 7.1.3.3 Abstrakte Panel-Clustering-Approximation.
- 7.1.4 Die Matrix-Vektor-Multiplikation im Panel-Clustering-Format.
- 7.1.4.1 Berechnung der Fernfeldkoeffizienten.
- 7.1.4.2 Cluster-Cluster-Wechselwirkung.
- 7.1.4.3 Auswertung der Panel-Clustering-Approximation einer Matrix-Vektor-Multiplikation.
- 7.1.4.4 Algorithmische Beschreibung des Panel-Clustering-Verfahrens.
- 7.2 Realisierung der Teilalgorithmen.
- 7.2.1 Algorithmische Realisierung der ?ebySev-Approximation.
- 7.2.2 Entwicklung mit variabler Ordnung.
- 7.3 Fehleranalyse für das Panel-Clustering-Verfahren.
- 7.3.1 Lokale Fehlerabschätzungen.
- 7.3.1.1 Lokale Fehlerabschätzung für die ?ebySev-Interpolation..
- 7.3.2 Globale Fehlerabschätzungen.
- 7.3.2.1 L2-Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers ohne partielle Integration.
- 7.3.2.2 L2-Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers mit partieller Integration.
- 7.3.2.3 Stabilität und Konsistenz für das Panel-Clustering-Verfahren..
- 7.4 Der Aufwand der Panel-Clustering-Methode.
- 7.4.1 Anzahl der Cluster und Blöcke.
- 7.4.2 Der algorithmische Aufwand der Panel-Clustering-Methode.
- 7.5 Panel-Clustering für Kollokationsverfahren.- Liste der Symbole.

Prof. Dr. Stefan Sauter, Universität Zürich
Prof. Dr. Christoph Schwab, ETHZ Zürich

"This is an excellent textbook directed to students in mathematics, physics and engineering, which serves as an introduction for non-specialists to the development, analysis and implementation of efficient numerical methods for the solution of boundary integral solutions."
Zentralblatt MATH, 1059, 10/2005