Vorlesungen über Grundlagen der Geometrie

Das vorliegende Buch ist den Grundlagen der linearen Geometrie gewidmet. 1m ersten Teil wird, der Idee des Erlanger Programms von FELIX KLEIN gemaB, die Kongruenz und Invarianz beziiglich beliebiger Gruppen von Transformationen diskutiert und nach Erorterung der Korperaxiome die n-dimensionale lineate Geometrie iiber Schiefkorpem aus den Gruppen linearer Transformationen erkl1irt. DaB der gruppen theoretische Aufbau hier zu den Grundlagen gezahlt ist, wird, hoffe ich, durch die logisch exakten Formulierungen in Kapitell gerechtfertigt. 1m zweiten Teil handelt es sich um die Axiomatik der ebenen linearen Geometrie, im wesentlichen also urn die Auswertung des Satzes von DESARGUES und des Satzes von PASCAL. Die Bedeutung dieser Satze fUr die affine Geometrie ist vor allem durch HILBERTS klassisches Werk iiber die Grundlagen der Geometrie klargestellt. Der DESARGUESSche Satz besagt, daB die Streckenverhaltnisse der Ebene einen Schief korper bilden, der PAscALsche Satz besagt, daB sie einen Korper bilden. Der Beweis fUr diese beiden Tatsachen laBt sich aber auf mannigfache Weise anordnen. Und es erschien mir daher wichtig und lehrreich, dem Grund dieser verschiedenen Moglichkeiten nachzuspiiren. Es muBte sich doch jedes Verkniipfungsgesetz der Streckenrechnung in einem wohlbestimmten SchlieBungssatze sichtbar machen und die logische Ab hangigkeit dieser SchlieBungssatze voneinander feststellen lassen. Gliicklicherweise haben nun diese SchlieBungssatze auch von anderer Seite her Interesse. W. BLASCHKE hat auf dem Mathematiker-KongreB in Bologna die Vermutung ausgesprochen, daB die Theorie der Kurven gewebe auch fUr die Grundlagen der Geometrie fruchtbar werden konnte.

I. Analytischer Aufbau der Geometrie. - 1. Gruppen von Transformationen. - 2. Grundlagen der Algebra. - 3. Affine Geometrie. - II. Axiomatischer Aufbau der Geometrie. - 4. Gewebe und Gruppen. - 5. Die Vektoren der affinen Ebene. - 6. Gewebe und Zahlensysteme. - 7. Affine und projektive Geometrie.