Géométrie des géodésiques sur les variétés hyperboliques

Le travail présenté est une recherche dans le domaine de la géométrie des variétés hyperboliques bidimensionnelles (équipées d'une métrique de courbure négative constante). Nous introduisons une nouvelle méthode (une manière) pour décrire le comportement global des géodésiques sur des variétés hyperboliques de dimension deux. Nous utilisons cette construction (méthode des multilatéraux de couleurs) pour étudier le comportement typique des géodésiques sur des surfaces hyperboliques arbitraires de signature. Les applications et les orientations futures sont discutées. À cette fin, à l'aide de l'approche pratique proposée dans un premier temps : 1) nous obtenons une classification complète de toutes les géodésiques possibles sur les 2-variétés hyperboliques les plus simples (corne hyperbolique ; cylindre hyperbolique ; corne parabolique (cuspide)) ; 2) décrire le comportement des géodésiques dans les cas suivants : a) sur une surface hyperbolique de genre deux (double encollage à partir de deux pantalons) ; b) nous étudions le comportement typique d'une géodésique sur une surface hyperbolique fermée compacte sans frontière (cas général) ; c) sur une surface hyperbolique de genre g et à n composantes limites ; d) sur un tore hyperbolique 1-percé ; e) sur un pantalon hyperbolique généralisé ; f) sur une sphère hyperbolique trois fois perforée ; dans le cas général : g.