Nahezu alle Lebensbereiche sind von dem Bestreben durchdrungen, bestmoglich zu handeln und zu entscheiden. Diese Intention lasst sich auch tibertragen aufdie Absicht, angestrebte Ziele oder Wirkungen mit geringstmoglichem Aufwand zu erreichen, also moglichst effektiv zu handeln. InjedemFall soll eine ZielgroJ3e sogut wie moglich gestaltet werden, wahrend bestimmte Nebenbedingungen einzuhalten sind. Der Mathematik und den Mathematikern gibt diese Erkenntnis die Anregung, tiber Optimierungsprobleme nachzudenken. Dabei ist die Grundlage eine quanti fizierende Modellierung der Entscheidungs- und Aktionsmoglichkeiten, die zur Verftigung stehen. In dieses Modell mtissen weiter die Auswirkungen der Ent scheidungen auf die ZielgroJ3e und auf die Einhaltung der Nebenbedingungen ein gehen. Auf diese Weise muss es rechnerisch moglich werden, jeweils den Wert der ZielgroJ3e zu messen und tiber die ZugehOrigkeit zum Bereich der zulassigen Losungsvorschlage zu entscheiden. 1st diese Modellierung gelungen, dann ist es ei ne weitere Aufgabe der Mathematik, Rechenverfahren zu entwickeln, die nun den besten der zulassigen Vorschlage ausfindig machen. Dabei steht zunachst einmal die Exaktheit der Losung im Vordergrund. Allerdings muss dieser Wunsch in vie len Bereichen abgewogen werden mit dem Ziel, in moglichst kurzer Rechenzeit ein Ergebnis zu erhalten. Viele Probleme konnten in endlicher Zeit erschOpfend behan delt werden, jedoch wtirde das oft einen nicht mehr vertretbaren Rechenaufwand auslosen. Deshalb befasst sich die Mathematik der Optimierung und des Opera tions Research auch mit der Komplexitat der auftretenden Probleme und der Zur Losung eingesetzten Algorithmen.
Inhaltsverzeichnis
Lineare Optimierung Überblick. - 1 Einführung. - 2 Lineare Ungleichungssysteme. - 3 Grundlagen der Polyedertheorie. - 4 Erzeugung und Darstellung von Polyedern. - 5 Dualität. - 6 Das Simplexverfahren. - 7 Variationen des Simplexverfahrens. - 8 Verbesserungen am Simplexverfahren. - 9 Komplexität des Simplexverfahrens. - 10 Die Ellipsoidmethode. - 11 Innere-Punkte-Verfahren von Karmarkar. - Nichtlineare Optimierung Überblick. - 12 Einführung in die konvexe Optimierung. - 13 Optimalitätskriterien. - 14 Dualität in der nichtlinearen Optimierung. - 15 Algorithmen. - 16 Eindimensionale Optimierung (Liniensuche). - 17 Mehrdim Suche ohne Nebenbedingungen. - 18 Verfahren für restringierte Probleme. - 19 Karmarkars Algorithmus aus nichtlinearer Sicht. - 20 Pfadverfolgungs-Methoden. - Ganzzahlige/Kombinatorische Optimierung Überblick. - 21 Ganzzahlige lineare Optimierung. - 22 Grundbegriffe der Graphentheorie. - 23 Komplexität von Problemen/Algorithmen. - 24 Aufspannende Untergraphen und Wege. - 25 Flüsse in Netzwerken. - 26 Heuristiken. - Spieltheorie Überblick. - 27 Einleitung und Begriffsbildung. - 28 Mathematische Modelle für Spiele. - 29 Gleichgewichtspunkte. - 30 Zweipersonen-Nullsummenspiele. - 31 Zweipersonen-Nullsummenspiele. - 32 Zweipersonen-Nichtkonstantsummenspiele. - 33 n-Personenspiele.
