gestellte Aufgaben, Methode der finiten Elemente, Verzweigungsprobleme und anderes. Bei dem Problem der Modernisierung der Darstellung glaubte ich, behutsam vorge hen zu müssen. Es gibt genügend viele sehr abstrakte, oft auf der Funktionalanalysis basierende Lehrbücher über Differentialgleichungen, bei denen aber gewöhnlich die Anwendungen und die konkrete Seite zu kurz kommen. Es lag mir aber sehr daran, daß Ingenieure und Naturwissenschaftler die Darstellung verstehen können. Damit aber den Anwendern der Zugang zu moderner mathematischer Literatur nicht ver baut wird, habe ich mich entschlossen, den grundlegenden allgemeinen Existenz-und Eindeutigkeitssatz zweimal zu bringen, einmal in der klassischen Weise und ein zweites Mal in funktionalanalytischer Sprechweise; der Leser wird bemerken, daß die bei den Beweise in gleicher Weise vorgehen. An dieser Stelle sei mir ein Wort zur allgemeinen Situation der Mathematik gestat tet: Bei der Mathematik, die doch von ihrer Anwendbarkeit lebt, besteht vielfach immer noch die Gefahr, die Abstraktionen über zu bewerten und die Konkretisierun gen zu vernachlässigen. Häufig wird ein guter Ingenieur mit einer konkreten Diffe rentialgleichung besser fertig als ein Mathematiker, und die Mathematik verliert an Boden. Das bedeutet immer noch eine ernst zu nehmende Gefahr für die Mathematik. Bei der zweiten Auflage haben mir die Herren Prof. Dr. Günter Meinardus, Dr. Alfred Meyer und Dr. Rüdiger Nicolovius sehr geholfen. Sie haben nicht nur die mühevolle Überprüfung bis in alle Einzelheiten des Zahlenmaterials vorgenommen, sondern mir auch zahlreiche wertvolle Ergänzungs- und Verbesserungsvorschläge gemacht, z. B. verdankt ihnen die Zusammenstellung in Kapitel III Nr. 20 die Über sichtlichkeit undVollständigkeit.
Inhaltsverzeichnis
Einteilung der Differentialgleichungen. - 1. Bezeichnungen. - 2. Physikalische Beispiele für Differentialgleichungen. - I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. - § 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen. - § 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung. - § 3 Bernoullische Differentialgleichung. - § 4 Der integrierende Faktor. - § 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage. - § 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz. - § 7 Singuläre Linienelemente. - § 8 Schwingungen. - § 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen. - II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. - § 1 Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen. - § 2 Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen. - § 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung. - § 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. - § 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung. - § 6 Die Eulersche Differentialgleichung. - § 7 Systeme linearer Differentialgleichungen. - § 8 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten. - § 9 Laplace-Transformation. - III Rand-, insbesondere Eigenwertaufgaben. - 1. Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben. - 2. Ein Träger. Mehrere Felder der Differentialgleichung. - 3. Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben. - 4. Differentialgleichung der Kettenlinie. - 5. Die Differentialgleichung y? = y2. - 6. Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei y? = ? y3. - 7. Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben. - 8. Die allgemeine Alternative. - 9. Einfachste Beispiele Greenscher Funktionen. - 10. Die Greensche Funktion als Einflußfunktion. - 11. Allgemeine Definition der Greenschen Funktion. - 12. Die Lösungsformel fürdie Randwertaufgabe. - 13. Die vollhomogene Randwertaufgabe. - 14. Die nichtlineare Randwertaufgabe. - 15. Partielle Differentialgleichungen. - 16. Der Bernoulli-Ansatz für Eigenschwingungen. - 17. Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben. - 18. Orthogonalität der Eigenfunktionen. - 19. Orthonormalsystem. - 20. Approximation im Mittel. - 21. Zum Entwicklungssatz. - 22. Der Quotienteneinschließungssatz. - 23. Einfache Beispiele. - 24. Die Eulersche Gleichung der Variationsrechnung im einfachsten Falle. - 25. Freie Randwertaufgaben und Variationsrechnung. - 26. Verzweigungsaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 2 Ordnung. - 27. Nichtlineare Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprobleme. - 28. Beispiel: Verzweigungsdiagramm bei einer Urysohnschen Integralgleichung. - 29. Aufgaben. - 30. Lösungen. - IV Spezielle Differentialgleichungen. - § 1 Kugelfunktionen. - § 2 Zylinderfunktionen. - § 3 Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion. - V Exkurs in die partiellen Differentialgleichungen. - § 1 Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und eine nichtlineare Gleichung. - § 2 Anfangs- und Randwertaufgaben. - § 3 Randmaximumsatz und Monotonie. - § 4 Sachgemäßheit und freie Randwertaufgaben. - § 5 Beziehungen zur Variationsrechnung und Methode der finiten Elemente. - § 6 Laplace- und Fourier-Transformation bei partiellen Differentialgleichungen. - VI Anhang Einige Näherungsmethoden und weitere Übungsaufgaben. - § 1 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. - § 2 Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen. - § 3 Einige biographische Daten. - Einige Lehrbücher über Differentialgleichungen und weiterführende Bücher.
