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Zahlentheorie

Eine Einführung in die Algebra.
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Produktdetails

Titel: Zahlentheorie
Autor/en: Armin Leutbecher

ISBN: 3540587918
EAN: 9783540587910
Eine Einführung in die Algebra.
'Grundwissen Mathematik'. 'Springer-Lehrbuch'.
Auflage 1996.
Paperback.
Springer Berlin Heidelberg

3. September 1996 - kartoniert - 376 Seiten

Auf der Grundlage der Mathematikkenntnisse des ersten Studienjahres bietet der Autor eine Einführung in die Zahlentheorie mit Schwerpunkt auf der elementaren und algebraischen Zahlentheorie. Da er die benötigten algebraischen Hilfsmittel nicht voraussetzt, sondern permanent mitentwickelt, wendet sich das Buch auch an Nichtspezialisten, denen es über die Zahlen frühzeitig den Weg in die Algebra öffnet. Angestrebte Ziele sind: Der Satz von Kronecker-Weber zur Krönung der Galois-Theorie, der Minkowskische Gitterpunktsatz, der Dirichletsche Primzahlsatz und die Bewertungstheorie der Körper. Ein umfangreicher Aufgabenteil mit Anleitungen bietet neben konkreten Beispielen und alternativen Beweisgängen vielfältige Rechenpraxis und Hinweise auf algorithmische Lösungswege.
1 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 1.1 Die natürlichen Zahlen.- 1.2 Der größte gemeinsame Teiler.- 1.3 Vier Regeln zum größten gemeinsamen Teiler.- 1.4 Über die Primzahlen.- 1.5 Kanonische Zerlegung und Teiler.- 1.6 Die Rolle der Primzahlen in ?.- Aufgaben.- 2 Primzahlen und irreduzible Polynome.- 2.1 Das Sieb des Eratosthenes.- 2.2 Über das Wachstum der Primzahlen.- 2.3 Der Fundamentalsatz in Polynomringen.- 2.4 Über Nullstellen und größte gemeinsame Teiler.- 2.5 Polynomfaktorisierung in der linearen Algebra.- Aufgaben.- 3 Die Restklassenringe von ?.- 3.1 Die Restklassen und ihre Verknüpfungen.- 3.2 Die Eulersche ?-Funktion.- 3.3 Der Chinesische Restsatz.- 3.4 Vielfache und Potenzen.- 3.5 Anwendung auf die prime Restklassengruppe.- Aufgaben.- 4 Die Struktur endlicher abelscher Gruppen.- 4.1 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.- 4.2 Die Struktur der primen Restklassengruppen.- Aufgaben.- 5 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.- 5.1 Beschreibung der Quadrategruppe als Kern.- 5.2 Einführung des Jacobi-Symbols nach Kronecker.- 5.3 Vorkehrung zum Beweis des Hauptsatzes.- 5.4 Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol.- 5.5 Quadrate in der primen Restklassengruppe.- Aufgaben.- 6 Gewöhnliche Kettenbrüche.- 6.1 Die Halbgruppe des euklidischen Algorithmus.- 6.2 Möbiustransformationen der projektiven Gerade.- 6.3 Die Kettenbruchentwickiung der Irrationalzahlen.- 6.4 Die Approximationsgüte der Näherungsbrüche.- 6.5 Periodische Kettenbrüche.- 6.6 Beste Näherungen.- 6.7 Die Farey-Reihe.- Aufgaben.- 7 Quadratische Zahlkörper.- 7.1 Teilkörper von ? als Vektorräume über ?.- 7.2 Gitter und ihre Ordnungen.- 7.3 Der Ganzheitsring und seine Einheitengruppe.- 7.4 Der Automorphismus quadratischer Zahlkörper.- 7.5 Grundeinheiten und Kettenbrüche.- Aufgaben.- 8 Teilbarkeit in Integritätsbereichen.- 8.1 Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre.- 8.2 Faktorielle Ringe.- 8.3 Hauptidealringe.- 8.4 Zahlkörper mit euklidischem Algorithmus.- 8.5 Arithmetik quadratischer Zahlkörper.- Aufgaben.- 9 Die lokalen Körper über ?.- 9.1 Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen.- 9.2 Der p-Betrag und die ultrametrische Ungleichung.- 9.3 Der Körper der p-adischen Zahlen.- 9.4 Polynome mit ganzen p-adischen Koeffizienten.- 9.5 Die verschiedenen Beträge des Körpers ?.- Aufgaben.- 10 Das Hilbertsche Normenrestsymbol.- 10.1 Quadratische Erweiterungen p-adischer Körper.- 10.2 Die Normen-Index-Gleichung.- 10.3 Das Hilbert-Symbol als Bilinearform.- 10.4 Produktformel für die lokalen Hilbertsymbole.- Aufgaben.- 11 Elemente der Gruppentheorie.- 11.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen.- 11.2 Torsions-Elemente in abelschen Gruppen.- 11.3 Freie abelsche Gruppen und ihre Untergruppen.- 11.4 Die symmetrische Gruppe.- 11.5 Exkurs über Gruppenaktionen.- 11.6 Die Sylowschen Sätze.- Aufgaben.- 12 Zahlkörper und ihre Ordnungen.- 12.1 Die Gitter in algebraischen Zahlkörpern.- 12.2 Die Dedekindschen Ordnungen.- 12.3 Die Diskriminante einer Basis.- 12.4 Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 12.5 Konstruktion von Zahlkörpern aus Polynomen.- 12.6 Polynome über faktoriellen Ringen.- 12.7 Biquadratische Zahlkörper.- Aufgaben.- 13 Der Fundamentalsatz in Zahlkörpern.- 13.1 Die Gruppe der gebrochenen Ideale.- 13.2 Der allgemeine Chinesische Restsatz.- 13.3 Die Absolutnorm der Ideale in Zahlkörpern.- 13.4 Zerlegung der Primzahlen in Zahlkörpern.- 13.5 Restklassenrechnen im Ganzheitsring.- 13.6 Relativerweiterungen von Zahlkörpern.- 13.7 Quadrate in quadratischen Zahlkörpern.- Aufgaben.- 14 Endliche Galois-Erweiterungen.- 14.1 Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms.- 14.2 Fortsetzung von Körper-Isomorphismen.- 14.3 Einfache Nullstellen und formale Ableitung.- 14.4 Uber Homomorphismen von Körpern.- 14.5 Der Fixkörper von Automorphismen.- 14.6 Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 14.7 Polynome in Galoiserweiterungen.- 14.8 Automorphismen rationaler Funktionenkörper.- Aufgaben.- 15 Anwendungen der Galois-Theorie.- 15.1 Aktion der Galoisgruppe a
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