Nichtlineare Dynamik, Bifurkation und Chaotische Systeme

1 Einleitung.
2 Diskrete Systeme.
2.1 Fixpunkte.
2.2 Lineare und nichtlineare Abbildungen.
2.3 Abbildungen mit chaotischem Verhalten.
2.3.1 Die Bernoulli-Abbildung.
2.3.2 Die logistische Parabel.
2.3.3 Die Hénon-Abbildung.
2.4 Die Poincaré-Abbildung.
Anhang A (Verallgemeinerte Eigenvektoren und Jordan-Formen).
Aufgaben.
3 Kontinuierliche dynamische Systeme.
3.1 Definitionen, Existenz- und Eindeutigkeitssätze.
3.2 Eigenschaften der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
3.2.1 Stabilität von Lösungen.
3.2.2 Asymptotik.
3.3 Fixpunkte.
3.3.1 Stabilität von Fixpunkten.
3.3.2 Struktur von Lösungen in kleinen Umgebungen von Fixpunkten.
3.3.3 Klassifikation von Fixpunkten.
3.3.4 Pendelschwingungen.
3.4 Hamilton-Systeme.
3.5 Zentrale Mannigfaltigkeiten.
3.5.1 Parameterabhängige zentrale Mannigfaltigkeiten.
3.6 Normalformen.
Aufgaben.
4 Bifurkationen.
4.1 Äquivalente und konjugierte dynamische Systeme, strukturelle Stabilität.
4.2 Verzweigungs-Grundtypen.
4.3 Die Sattel-Knoten-Bifurkation.
4.4 Die transkritische Verzweigung.
4.5 Die Pitchfork-Bifurkation.
4.6 Die Hopf-Bifurkation.
4.7 Methode der Projektionen.
4.8 Stabilität periodischer Lösungen.
Anhang A (Fredholm-Alternative).
Anhang B (Hopf-Bifurkationen in kontinuierlichen Systemen).
Aufgaben.
5 Asymptotische Methoden.
5.1 Die Mittelwert-Methode.
5.2 Beispiele.
5.3 Schwach nichtlineare Oszillatoren.
5.4 Die Viel variablen-Methode.
Aufgaben.
6 Homokline Bifurkationen.
6.1 Die Standardabbildung.
6.2 Sattelpunkte flächenerhaltender Abbildungen.
6.3 Elliptische Fixpunkte flächenerhaltender Abbildungen und KAM-Kurven.
6.4 Winkel- und Wirkungsvariable.
6.5 Schwach gestörte Hamilton-Systeme.
6.6 Das Melnikov-Kriterium.
6.6.1 Homokline Koordinaten.
6.6.2 Abstand zwischen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten gestörter Systeme.
6.6.3 Definition der Melnikov-Funktion.
6.7 Verallgemeinerungen des Melnikov-Kriteriums.
6.7.1 Heterokline Bifurkationen.
6.7.2 Melnikov-Kriterium für eine Klasse von Hamilton-Systemen mit zwei Freiheitsgraden.
6.8 Das Shilnikov-Phänomen.
Aufgaben.
7 Bifurkationen mit höherer Ko-Dimension.
7.1 Verallgemeinerung der Grundtypen von Bifurkationen eindimensionaler Systeme.
7.1.1 Eindimensionale Systeme mit kubischen Nichtlinearitäten.
7.1.2 Eindimensionale Systeme mit quartären Nichtlinearitäten.
7.2 Die Ko-Dimension dynamischer Systeme.
7.2.1 Eindimensionale Systeme.
7.2.2 Ebene Systeme.
7.2.2.1 Zweidimensionale Potential-Systeme.
7.2.2.2 Allgemeine zweidimensionale Systeme.
7.3 Dynamik von Bifurkationen mit Ko-Dimension Zwei.
7.3.1 Ein doppelter Eigenwert.
7.3.2 Zwei Paare rein imaginärer Eigenwerte.
Anhang A Versale Entfaltung von Matrizen.
Aufgaben.
Quantitative Methoden der Beschreibung nichtlinearer und chaotischer Systeme.
8.1 Der (Phasen-)Fluß autonomer Vektorfelder.
8.2 Nicht-autonome dynamische Systeme.
8.3 Zur Begriffsbildung bei chaotischen Systemen.
8.4 Der Lyapunov-Exponent.
8.4.1 Lyapunov-Exponenten für diskrete, eindimensionale Systeme.
8.4.2 Lyapunov-Exponenten mehrdimensionaler Systeme.
8.4.3 Numerische Bestimmung der Lyapunov-Exponenten.
8.4.4 Lyapunov-Exponenten und Attraktorvolumen.
8.5 Die Autokorrelationsfunktion.
8.5.1 Die Autokorrelationsfunktion diskreter Systeme.
8.5.2 Die Autokorrelationsfunktion kontinuierlicher Systeme.
8.6 Das Leistungsspektrum.
8.6.1 Das Leistungsspektrum diskreter Systeme.
8.6.2 Das Leistungsspektrum kontinuierlicher Systeme.
8.7 Fraktale Strukturen und Dimensionen.
8.7.1 Selbstähnlichkeit und Selbstaffinität.
8.7.2 Fraktale, Hausdorff-Dimension.
8.7.2.1 Zufallsfraktale.
8.7.2.2 Multi-Fraktale.
8.7.3 Selbstähnlichkeits-Dimension.
8.7.4 Box-Dimension.
8.7.5 Die informationsdimension.
8.7.6 Korrelationsdimension.
8.7.7 Lyapunov-Dimension.
8.7.8 Die Rényi-Dimension.
8.7.9 Die Kolmogorov-Entropie.
8.8 Rekonstruktion eines Attraktors aus einer Zeitreihe.
Aufgaben.
Literatur.
Sachwortverzeichnis.

Prof. Dr.-Ing. Peter Plaschko lehrt an der Universidad Autónoma Metropolitana, Mexico. Prof. Dr. rer. nat. Klaus Brod an der Fachhochschule Wiesbaden