Was Sie wissen müssen - von Abbildungsmatrix bis Zylinderkoordinaten
Ganz egal, was Sie machen wollen, in der Mathematik führt ab einem gewissen Niveau kein Weg an der Vektorund Matrizenrechnung vorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck führen Sie in dieses Thema ein. Sie erklären Ihnen, was Vektoren und Matrizen überhaupt sind und wie Sie möglichst unkompliziert mit ihnen rechnen. Außerdem erfahren Sie, was Sie über Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sie lineare Gleichungssysteme lösen und vieles mehr. So lernen Sie pfeilschnell, in diese Tiefen der Mathematik einzudringen. Besonderer Wert wird hierbei auf geschickte Ansätze und Tricks gelegt, die den Rechenaufwand und Komplexitätsgrad einer Aufgabenstellung reduzieren, sodass Sie insbesondere in Prüfungen so schnell wie möglich zur korrekten Lösung gelangen.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 19
Konventionen in diesem Buch 19
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 20
Was Sie in diesem Buch finden 20
Was Sie in diesem Buch nicht finden 20
Wie dieses Buch aufgebaut ist 20
Teil I: Einfü hrung 21
Teil II: Vektorrechnung 21
Teil III: Matrizen 21
Teil IV: Lineare Gleichungssysteme 21
Teil V: Der Top-Ten-Teil 22
Spickzettel 22
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22
Wie es weitergeht 22
Teil I
Einfü hrung 23
Kapitel 1
Motivation 25
Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen
Gleichungssysteme 25
Vektoren in Theorie und Praxis 26
Matrizen in Schule, Studium und Beruf 27
Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind 28
Kapitel 2
Vektorrechnung 31
Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? 31
Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors 33
Der Betrag eines Vektors 36
Beispiele 37
Einheitsvektoren - Voll normal! 38
Rechnen mit Vektoren 40
Addition und Subtraktion von Vektoren 40
Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 45
Linearkombination von Vektoren als 'Pfeile' 47
Differenzvektoren 48
Vektoren in der analytischen Geometrie 49
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks 49
Zum Halten von Lasten 51
Kapitel 3
Matrizen 55
Definition und Form von Matrizen 55
Rechnen mit Matrizen - mehr als nur ein Haufen Zahlen! 57
Addition und Subtraktion von Matrizen 57
Multiplikation von Matrizen 58
Invertieren von Matrizen 60
So sieht sich eine Matrix im Spiegel 60
Der Stammbaum der Matrizen 63
Reelle und komplexe Matrizen 63
Quadratische und nicht-quadratische Matrizen 64
Regulä re und singulä re Matrizen 64
Symmetrische und hermitesche Matrizen 64
Orthogonale und unitä re Matrizen 66
Dreiecksmatrizen 67
Noch speziellere Matrizen. . . 68
Matrizen bei der Arbeit 68
Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen 71
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen 71
Kapitel 4
Lö sen von linearen Gleichungssystemen 73
Matrixschreibweise fü r lineare Gleichungssysteme 73
Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! 77
Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems 81
Teil II
Vektorrechnung 83
Kapitel 5
Vektor mal Vektor = ? ? ? 85
Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl 85
Definition und Schreibweisen 85
Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp 86
Geometrische Bedeutung - endlich wird es anschaulich! 88
Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? 91
Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor 94
Definition und Schreibweise 94
Nü tzliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp 94
Geometrische Bedeutung - endlich wird's wieder anschaulich! 95
Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? 96
Das Spatprodukt - und was ist bitte ein Parallelepiped? 100
Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix 102
Definition und Schreibweise 102
Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren 102
Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren
in drei Dimensionen 103
Kapitel 6
Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren . . . 105
Unser Koordinatensystem ist das Gerü st der Vektor-Welt 105
Kartesische Koordinatensysteme - hier steht alles senkrecht! 105
Beispiele fü r kartesische Koordinatensysteme 106
Polarkoordinaten - krumme Linien in der Ebene? ! 109
Zylinderkoordinaten - Hut ab fü r die dritte Dimension! 115
Kugelkoordinaten - eine runde Sache 118
Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! 122
Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? 122
Beispiele fü r Basen 124
Basistransformationen - aus Alt mach Neu 125
Jetzt geht's rund - wir drehen die Basis! 127
Kapitel 7
Analytische Geometrie - mehr als nur ein paar Bauklö tze! 135
Lineare Abhä ngigkeit und Unabhä ngigkeit von Vektoren 135
Der Vektorzug fä hrt ein. . . 135
Parallele und antiparallele Vektoren 136
Anwendungsaufgabe zur linearen Abhä ngigkeit von Vektoren 137
Darstellung von Geraden und Ebenen 139
Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! 139
Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! 142
Zusammenfassung 144
Der Klassiker: Schnitte und Abstä nde von Geraden und Ebenen 144
Schnitte von Geraden mit Ebenen 144
Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade 146
Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung 147
Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene in Normalenform 148
Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen 149
Parallele und windschiefe Geraden 151
Wir verlassen das Flachland und bauen Kö rper aus Ebenen 155
Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung 155
Analytische Geometrie fü r Fortgeschrittene Teil 1:
Wir bauen uns einen Tetraeder 157
Analytische Geometrie fü r Fortgeschrittene Teil 2:
Wie viel Farbe benö tigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? 160
Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung 166
Die Kugelgleichung 166
Tangentialebenen 167
Schnitt von Kugeln mit Ebenen 168
Kapitel 8
Funktionenrä ume 171
Kö nnen Funktionen Vektoren sein? 171
Ein Skalarprodukt fü r Funktionen 173
Lineare Abhä ngigkeit und Unabhä ngigkeit von Funktionen 174
Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach 174
Der Funktionenraum der Polynome 175
Monome als Bausteine von Polynomen 175
Orthogonale Funktionen - was bedeutet das? 175
Trigonometrische Funktionen 177
Auf der Suche nach einer Basis 177
Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen 178
Die Fourierreihe - wir bringen Funktionen zum Schwingen 179
So macht man aus unstetigen Funktionen stetige 180
Teil III
Matrizen 183
Kapitel 9
Rechenregeln 185
Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz fü r die Addition 185
Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion 187
Division durch Bildung der Inversen 189
Lineare Abbildungen, Kern und Bild 190
Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen 190
Einfü hrung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel 191
Kapitel 10
Determinanten 199
Verfahren nach Leibniz 199
Permutationen - da haben wir den (Zahlen)salat! 199
Die Determinantenformel 202
Schachbrettregel und Unterdeterminanten 205
Entwicklung nach Zeilen oder Spalten 207
Spezialfall: (2 x 2)-Matrizen 211
Spezialfall: (3 x 3)-Matrizen und Sarrussche Regel 211
Rechenregeln fü r Determinanten 213
Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante 214
Kapitel 11
Invertieren von Matrizen 217
Regularitä t und Singularitä t als Indiz fü r Invertierbarkeit 217
Berechnung der Inversen mittels des Gauß -Algorithmus 219
Bildung der Inversen mittels der Adjunkten 222
Spezialfall: (2 x 2)- und (3 x 3)-Matrizen 226
Kapitel 12
Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisieren von Matrizen 229
Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit 229
Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit 235
Diagonalisieren von Matrizen 241
Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit 241
Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten 243
Algebraische Vielfachheit ? nGeometrische Vielfachheit 244
Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen 245
Was sich nicht ä ndert beim Diagonalisieren 248
Anwendung: Noch einmal Drehungen 250
Anwendung: Quadriken 252
Die Hauptachsen einer Quadrik 255
Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt 257
Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! 257
Fü r Fortgeschrittene: Jordansche Normalform 258
Bestimmung der Jordan-Normalform und der Transformationsmatrix 259
Kapitel 13
Besonders einfache Matrizen 263
Dreiecksmatrizen 263
Diagonalmatrizen 263
Blockdiagonale Matrizen 264
Teil IV
Lö sen von linearen Gleichungssystemen 271
Kapitel 14
Gauß -Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung 273
Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform 273
Rang von Matrizen 274
Systeme mit einer eindeutigen Lö sung 276
Systeme ohne Lö sung 278
Systeme mit unendlich vielen Lö sungen 279
Kapitel 15
Lö sen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe von Parametern 283
Einfü hrung von Parametern und Bilden der Lö sung 283
Minus-Eins-Ergä nzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalform und Ablesen der Lö sung 284
Kapitel 16
Homogene und partikulä re Lö sung 287
Bildung der homogenen Lö sung 287
Bildung der partikulä ren Lö sung 289
Zusammensetzen beider Lö sungen 289
Kapitel 17
Lö sungsweg unter Verwendung der Determinante 291
Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und Cramersche Regel 291
Resultate aus der Cramerschen Regel 293
Anwendung: Lö sbarkeit eines linearen Gleichungssystems in Abhä ngigkeit zweier Parameter 293
Anwendung: Die Wronski-Determinante 295
Die Wronski-Determinante in Aktion 296
Lineare Unabhä ngigkeit im Fall der Monome 297
Lineare Unabhä ngigkeit im Fall der Sinus- und Kosinusfunktionen 298
Teil V
Der Top-Ten-Teil 299
Kapitel 18
Zehn hä ufige Anfä ngerfehler 301
Dividieren durch Vektoren - Nein! 301
Matrizen vertauschen nicht! 301
Ein Vektor hä ngt von den Komponenten und der Basis ab! 301
Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt 301
Leichtsinnsfehler 302
Vektoren in anderen Koordinatensystemen 302
Einheitskreis - wie bitte? 302
Wurzelziehen aus Quadraten 302
Vorsicht mit der imaginä ren Einheit 302
Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten 303
Kapitel 19
Zehn Tipps fü r erfolgreiche Prü fungen 305
Ü ben, ü ben, ü ben! 305
Nachdenken ist die halbe Miete! 305
Ergebnisse kritisch begutachten 305
Ü ben Sie auch mö glichst an verschiedenen Aufgabentypen! 306
Gleichungen mü ssen stimmig sein! 306
Effizienz von Algorithmen 306
Aussehen von Geraden und Ebenen 306
Denken Sie sich selber Aufgaben aus! 306
Nehmen Sie nicht alles bierernst! 306
Denken Sie an die am hä ufigsten vorkommenden Fragen! 307
Stichwortverzeichnis 309
