Im Mittelpunkt des Buches steht eine Konstruktion mit Hilfe von Geradenkonfigurationen in der komplex-projektiven Ebene, die überraschende Beziehungen zur elementaren Geometrie aufzeigt: Aus der berühmten Miyaoka-Yau-Ungleichung für die Chernschen Zahlen einer algebraischen Fläche folgen Aussagen über Geraden- und Punktkonfigurationen, für die kein direkter Beweis bekannt ist. Der Grenzfall der Ungleichung ist eine Proportionalitätsbeziehung, die genau die Flächen charakterisiert, deren universelle Überlagerung die Vollkugel im komplex-zweidimensionalen Raum ist. Die Methoden gestatten die Konstruktion von Flächen aus dieser besonders interessanten Klasse, für die bislang wenig explizite Beispiele bekannt waren.
Inhaltsverzeichnis
Einführung: Das Klassifikationsproblem. Ballquotienten und Proportionalitätssätze. - 1 Konstant verzweigte Überlagerungen und Chernsche Zahlen. - 1. 1 Regulär konstant verzweigte Überlagerungen. - 1. 2 Singulär konstant verzweigte Überlagerungen und Regularisierung. - 1. 3 CHERNsche Zahlen und Proportionalitätsabweichung. - 1. 4 Zwei Ballquotienten als verzweigte Überlagerungen ABELscher Flächen. - 1. 5 Beispiel: Geradenkonfigurationen und die zugehörigen KUMMERschen Überlagerungen der projektiven Ebene. - 2 Geradenkonfigurationen: Kombinatorik und Beispiele. - 2. 1 Geradenkonfigurationen in projektiven Ebenen. - 2. 2 Reelle und simpliziale Konfigurationen und Platonische Körper. - 2. 3 Beispiele komplexer Konfigurationen: Die HESSE- und die CEVA-Konfigurationen. - 2. 4 Spiegelungsgruppen und Geradenkonfigurationen. - 3 Geradenkonfigurationen und Kummersche Überlagerungen der projektiven Ebene. - 3. 1 Drei Beispiele von Ballquotientenflächen. - 3. 2 Zur Klassifikation der Überlagerungsflächen. - 3. 3 Ungleichungen für CHERNsche Zahlen und Kombinatorik von Geradenkonfigurationen. - 3. 4 Zur Geographie der CHERNschen Zahlen. - 4 Gewichtete Konfigurationen von Kurven und verzweigte Überlagerungen algebraischer Flächen. - 4. 1 Gewichtete Kurvenkonfigurationen, passende Überlagerungen, CHERNsche Zahlen und Proportional itätsberechnungen. - 4. 2 Rationale Ausnahmekurven und negative Gewichte. - 4. 3 Elliptische Kurven und das Gewicht Unendlich. - 5 Gewichtete Geradenkonfigurationen, Proportionalität und Ballquotienten. - 5. 1 Proportionalitätsbedingungen. - 5. 2 Konstante Geradengewichtung und isobare Konfigurationen. - 5. 3 Existenz passender Überlagerungen. - 5. 4 Das vollständige Viereck: Proportionalität und hyperbolische Gewichtungen. - 5. 5 Das vollständige Viereck: Spezielleproportionale Überlagerungen. - 5. 6 Die CEVA-Konfigurationen. - 5. 7 Spiegelungsgruppen-Konfigurationen und Ballquotienten. - Anhang A Algebraische Flächen. - A. 1 Invarianten und Klassifikation. - A. 2 Logarithmische Formen und Invarianten. - Anhang B Differentialgeometrische Methoden. - B. 1 Ballquotienten und CHERNsche Zahlen. - B. 2 KÄHLER-EINSTEIN-Metriken und Ballquotienten. - B. 3 Kompaktifizierte Ballquotienten und logarithmische Proportionalität. - Anhang C Topologische Konstruktionen. - C. 1 Verzweigte Überlagerungen. - C. 2 Passende Überlagerungen zu gewichteten Kurvenkonfigurationen. - C. 3 Die Fundamentalgruppe des Komplements einer Geradenkonfiguration. - C. 4 Existenzuntersuchung mit Hilfe der Fundamentalgruppe. - C. 5 ABE Lsche Überlagerungen. - C. 6 Passende Überlagerungen zu den Spiegelungsgruppen-Konfigurationen. - Sachwortverzeichnis.
