Analysis II

Die Analysis ist ein klassisches Thema, aber die Art der Vermittlung wandelt sich: Einerseits wegen der neuen Bachelorstudiengänge, andererseits wegen des geringeren Wissensstands der Studienanfänger. Zudem steigen die Hörerzahlen, so dass das Selbststudium an Relevanz zunimmt. Die Didaktik dieses Buchs ist explizit auf diese veränderte Ausgangslage ausgerichtet: Besonders sorgfältig, mit vielen Beispielen und Schritt für Schritt erhöhtem Abstraktionsgrad wird in die Analysis eingeführt, so dass die Inhalte nicht nur von außerordentlich mathematisch Begabten nachvollzogen werden können. Kapitel 1: n-dimensionaler Euklidischer Raum, Vektorraumstruktur, metrische und topologische Struktur; kompakte Mengen Kapitel 2: stetige Funktionen und Abbildungen inklusive deren graphischer Veranschaulichung; Banachscher Fixpunktsatz, stetige Funktionen auf kompakten Mengen; zusammenhängende Mengen Kapitel 3: Differentialrechnung, insbesondere auch Richtungsableitungen, die Taylorsche Formel, Kurvendiskussion und konvexe Funktionen Kapitel 4: Differenzierbare Abbildungen mit den Sätzen über inverse Abbildungen und implizite Funktionen und Extrema unter Nebenbedingungen; Beweis des Satzes über inverse Abbildungen mit der Methode der kleinsten Quadrate Kapitel 5: Riemannsches Integral einschließlich sukzessiver Integration Kapitel 6: Regularisierung und Approximation, die Technik der Zerlegung der Eins und der Weierstraßsche Approximationssatz Kapitel 7: Transformationsformel für n-fache Integrale, Technik der Zerlegung der Eins in der Anwendung

1;1 Der n-dimensionale Euklidische Raum;13 1.1;1.1 Der Euklidische Vektorraum Rn;14 1.2;1.2 Metrische Eigenschaften und Folgen im Rn;19 1.3;1.3 Topologische Eigenschaften des Rn;27 1.4;1.4 Kompakte Mengen;31 2;2 Stetige Funktionen und Abbildungen;39 2.1;2.1 Funktionen und Abbildungen;39 2.2;2.2 Der Limes von Funktionen und Abbildungen;50 2.3;2.3 Stetige Funktionen und Abbildungen;57 2.4;2.4 Der Banachsche Fixpunktsatz;61 2.5;2.5 Stetige Funktionen und Abbildungen auf kompakten Mengen;64 2.6;2.6 Stetige Funktionen und Abbildungen auf zusammenhängenden Mengen;68 2.7;2.7 Gleichmäßige Konvergenz;73 3;3 Differentialrechnung mehrerer Variablen;79 3.1;3.1 Partiell differenzierbare Funktionen;79 3.2;3.2 Höhere Ableitungen;88 3.3;3.3 Differenzierbare Funktionen;94 3.4;3.4 Richtungsableitungen;100 3.5;3.5 Totale Differentiale und die Taylorsche Formel;104 3.6;3.6 Lokale Extrema;110 3.7;3.7 Konvexe Funktionen;117 4;4 Differenzierbare Abbildungen;125 4.1;4.1 Differenzierbare Abbildungen;125 4.2;4.2 Der Satz über inverse Abbildungen;130 4.3;4.3 Lokal und global umkehrbare Abbildungen;139 4.4;4.4 Der Satz über implizite Funktionen;148 4.5;4.5 Extrema mit Nebenbedingungen;154 5;5 Das Riemannsche Integral;163 5.1;5.1 Definition des Integrals;163 5.2;5.2 Die Riemannsche Definition;173 5.3;5.3 Eigenschaften integrierbarer Funktionen;177 5.4;5.4 Jordansche Nullmengen;181 5.5;5.5 Integration über Jordansche Bereiche;186 5.6;5.6 Uneigentliche Integrale;188 5.7;5.7 Grenzwertsätze;193 5.8;5.8 Parameterabhängige Integrale;197 5.9;5.9 Sukzessive Integration;199 6;Literaturverzeichnis;203 7;Abbildungsverzeichnis;205 8;Schlagwortverzeichnis;209