Algebraische Topologie

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln 9 bis 13 werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

1 Homologie.- 1.1 Die Axiome einer Homologietheorie.- 1.2 Folgerungen aus den Axiomen.- 1.3 Elementare Berechnungen.- 1.4 Elementare Anwendungen.- 1.5 Aufgaben.- 2 Singulare Homologie.- 2.1 Kettenkomplexe.- 2.2 Konstruktion der singulären Homologie.- 2.3 Beweis der Homotopieinvarianz für singuläre Homologie.- 2.4 Beweis der Ausschneidung für singuläre Homologie.- 2.5 Skizze der Konstruktion von Bordismustheorie.- 2.6 Die erste singuläre Homologie und die Fundamentalgruppe.- 2.7 Aufgaben.- 3 CW-Komplexe.- 3.1 CW-Komplexe.- 3.2 Abbildungen zwischen Sphären und ihre Abbildungsgrade.- 3.3 Der zelluläre Kettenkomplex assoziiert zu einer Homologietheorie.- 3.4 Homologische Berechnungen mit Hilfe des zellulären Kettenkomplexes.- 3.5 Eindeutigkeit der Homologie für CW-Komplexe.- 3.6 Simpliziale Komplexe und simpliziale Homologie.- 3.7 Aufgaben.- 4 Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen.- 4.1 Euler-Charakteristik für endliche Kettenkomplexe.- 4.2 Euler-Charakteristik für endliche CW-Komplexe.- 4.3 Die universelle Eigenschaft der Euler-Charakteristik.- 4.4 Lefschetz-Zahlen für endliche Kettenkomplexe.- 4.5 Lefschetz-Zahlen für endliche CVF-Komplexe.- 4.6 Lefschetz-Zahlen und Euler-Charakteristiken auf Mannigfaltigkeiten.- 4.7 Aufgaben.- 5 Kohomologie.- 5.1 Die Axiome einer Kohomologietheorie.- 5.2 Singuläre und zelluläre Kohomologie.- 5.3 Die Axiome einer multiplikativen Struktur.- 5.4 Der Kohomologiering projektiver Räume.- 5.5 Das Cup-Produkt für CVF-Komplexe.- 5.6 Aufgaben.- 6 Homologische Algebra.- 6.1 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra.- 6.2 Der Tor-Funktor.- 6.3 Der Ext-Funktor.- 6.4 Das universelle Koeffiziententheorem für Homologie.- 6.5 Das universelle Koeffiziententheorem für Kohomologie.- 6.6 Die Künneth-Formel für Homologie.- 6.7Der Satz von Eilenberg und Zilber.- 6.8 Die Künneth-Formel für Kohomologie.- 6.9 Die Bockstein-Sequenz.- 6.10 Direkte Systeme und direkte Limiten.- 6.11 Inverse Systeme und inverse Limiten.- 6.12 Homologie und Ausschöpfungen.- 6.13 Kohomologie und Ausschöpfungen.- 6.14 Aufgaben.- 7 Produkte.- 7.1 Liste der verschiedenen Produkte.- 7.2 Natürlichkeit.- 7.3 Assoziativität.- 7.4 Kommutativität.- 7.5 Eins-Elemente.- 7.6 Verträglichkeit mit Randoperatoren.- 7.7 Relationen zwischen den Produkten.- 7.8 Konstruktion der Produkte.- 7.9 Die Hopf-Invariante.- 7.10 Der Satz von Borsuk-Ulam.- 7.11 Aufgaben.- 8 Dualität.- 8.1 Orientierung.- 8.2 Der Abbildungsgrad.- 8.3 Kohomologie mit kompaktem Träger.- 8.4 Poincaré-Dualität.- 8.5 Poincaré-Dualität und die Euler-Charakteristik.- 8.6 Schnittformen.- 8.7 Jordanscher Trennungsatz.- 8.8 Aufgaben.- 9 Glatte Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialbündel.- 9.1 Glatte Strukturen.- 9.2 Der Tangentialraum.- 9.3 Vektorraumbündel.- 9.4 Das Tangentialbündel.- 9.5 Aufgaben.- 10 Elementare Lineare Algebra.- 10.1 Konstruktionen von Vektorräumen.- 10.2 Das Dach-Produkt von alternierenden Multilinearformen.- 10.3 Kanonische Isomorphismen.- 10.4 Determinante und Spur.- 10.5 Skalarprodukte und Orientierungen.- 10.6 Spezielle Basen.- 10.7 Aufgaben.- 11 Parametrisierte Lineare Algebra.- 11.1 Konstruktionen von Vektorraumbündeln.- 11.2 Riemannsche Metriken und Orientierungen.- 11.3 Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten.- 11.4 Aufgaben.- 12 Differentialformen.- 12.1 Definition einer Differentialform.- 12.2 Das Dach-Produkt von Differentialformen.- 12.3 Die äußere Ableitung.- 12.4 Integration von Differentialformen.- 12.5 Die Volumenform.- 12.6 Aufgaben.- 13 Der Satz von Stokes.- 13.1 Mannigfaltigkeiten mit Rand.- 13.2 Der Satz vonStokes.- 13.3 Anwendungen des Satzes von Stokes.- 13.4 Aufgaben.- 14 De Rham-Kohomologie.- 14.1 Definition der de Rham-Kohomologie.- 14.2 Homotopieinvarianz der de Rham-Kohomologie.- 14.3 Die Mayer-Vietoris-Sequenz für die de Rham-Kohomologie.- 14.4 Die multiplikative Struktur auf der de Rham-Kohomologie.- 14.5 Aufgaben.- 15 Der Satz von de Rham.- 15.1 Glatte singulare Koketten.- 15.2 Glatte Kohomologietheorien.- 15.3 Die de Rham-Abbildung..- 15.4 Der Beweis des Satzes von de Rham.- 15.5 Verträglichkeit mit den multiplikativen Strukturen.- 15.6 Der Satz von Hodge-de Rham.- 15.7 Aufgaben.- 16 Anhang.- 16.1 Topologische Räume.- 16.2 Die Teilraumtopologie.- 16.3 Stetige Abbildungen.- 16.4 Kompaktheit.- 16.5 Zusammenhang.- 16.6 Das 2. Abzählbarkeitsaxiom.- 16.7 Die Summe von topologischen Räumen.- 16.8 Das Produkt von topologischen Räumen.- 16.9 Homotopie.- 16.10 Identifizierungen.- 16.11 Kategorien.- 16.12 Funktoren und Transformationen.- 16.13 Aufgaben.- Notation.