Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wird in der Schule oft nur beiläufig behandelt, dabei handelt es sich um ein besonders spannendes und alltagstaugliches Teilgebiet der Mathematik. Für alle, die über dieses Thema noch etwas mehr erfahren wollen oder müssen, erklärt Deborah Rumsey verständlich und mit Humor, was sie unbedingt wissen sollten. Egal ob Kontingenztabelle, zentraler Grenzwertsatz, Stichproben-, Binomial- oder Poissonverteilung, in diesem Buch lernen Sie, was es ist und wie Sie es anwenden. Zu jedem Kapitel finden Sie online eine Übungsaufgabe samt Lösung, um das Gelernte zu festigen. Auch Tipps zu praktischen Anwendungen
- ob bei der Arbeit oder am Pokertisch - kommen nicht zu kurz. So finden Sie in diesem Buch alles, was Sie über Wahrscheinlichkeitsrechnung unbedingt wissen sollten.
Inhaltsverzeichnis
Einfü hrung 21 Ü ber dieses Buch 21
Konventionen in diesem Buch 22
Was Sie nicht lesen mü ssen 22
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 22
Wie dieses Buch aufgebaut ist 23
Teil I: Die Sicherheit der Unsicherheit: Grundlagen der Wahrscheinlichkeit 23
Teil II: Auf die Wahrscheinlichkeit setzen und wetten, um zu gewinnen 23
Teil III: Grundlegende Wahrscheinlichkeitsmodelle 24
Teil IV: Fortgeschrittene Wahrscheinlichkeitsmodelle 24
Teil V: Stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle 24
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 25
Anhang 25
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 25
Wie es weitergeht 26
Teil I Die Sicherheit der Unsicherheit:
Grundlagen der Wahrscheinlichkeit 27
Kapitel 1 Wahrscheinlichkeit im Alltag 29
Was bedeutet Wahrscheinlichkeit? 29
Was ist eine 'Chance'? 29
Wahrscheinlichkeiten interpretieren: In groß en Mengen und langen Zeiträ umen denken 30
Wahrscheinlichkeiten im Alltag erkennen 31
Wahrscheinlichkeiten ermitteln 32
Seien Sie subjektiv 32
Wä hlen Sie einen klassischen Ansatz 33
Relative Hä ufigkeiten ermitteln 33
Verwenden Sie Simulationen 35
Denkfehler ü ber Wahrscheinlichkeit, die Sie vermeiden sollten 36
Zwei mö gliche Ergebnisse als 50-50-Situation sehen 36
Denken, dass keine Muster auftreten kö nnen 37
Kapitel 2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit 39
Ein Ü berblick ü ber die Mengennotation 39
Ergebnisse festhalten: Stichprobenrä ume 39
Teilmengen von Stichprobenrä umen festhalten: Ereignisse 41
Die leere Menge 42
Mengenoperationen: Vereinigung, Durchschnitt und Komplement 43
Arten der Wahrscheinlichkeit 44
Wahrscheinlichkeitsnotation 44
Marginale Wahrscheinlichkeit 46
Wahrscheinlichkeit der Vereinigung 46
Wahrscheinlichkeiten des Durchschnitts 46
Komplementä re Wahrscheinlichkeit 47
Bedingte Wahrscheinlichkeit 47
Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden 49
Die Komplementä rregel 50
Die Multiplikationsregel 51
Die Additionsregel 52
Unabhä ngigkeit mehrerer Ereignisse 52
Die Unabhä ngigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prü fen 53
Die Multiplikationsregel fü r unabhä ngige Ereignisse nutzen 53
Einander ausschließ ende Ereignisse berü cksichtigen 54
Einander ausschließ ende Ereignisse erkennen 55
Die Additionsregel mit einander ausschließ enden Ereignissen vereinfachen 55
Unabhä ngige und einander ausschließ ende Ereignisse unterscheiden 56
Ein Vergleich von Unabhä ngigkeit und Ausschließ lichkeit 56
Die Unabhä ngigkeit oder Ausschließ lichkeit in einem Kartenspiel mit 52 Karten prü fen 57
Kapitel 3 Wahrscheinlichkeit visualisieren: Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem 59
Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren 59
Mit Venn-Diagrammen nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten ermitteln 60
Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und visualisieren 61
Umwandlungsregeln fü r Mengen in Venn-Diagrammen 62
Die Grenzen von Venn-Diagrammen 63
Wahrscheinlichkeiten fü r komplexe Probleme mit Venn-Diagrammen ermitteln 64
Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen 67
Mehrstufige Ergebnisse mit einem Baumdiagramm visualisieren 68
Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm visualisieren 69
Die Grenzen der Baumdiagramme 73
Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten fü r komplexe Ereignisse ermitteln 73
Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem 75
Eine marginale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen 76
Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnen 79
Teil II Auf die Wahrscheinlichkeit setzen und wetten,
um zu gewinnen 85
Kapitel 4 Kontingenztabellen mit Wahrscheinlichkeiten aufstellen 87
Eine Kontingenztabelle aufbauen 87
Den Stichprobenraum beschreiben 88
Die Zeilen und Spalten bilden 88
Die Daten eintragen 89
Zeilensummen, Spaltensummen und Gesamtsummen 89
Wahrscheinlichkeiten in einer Kontingenztabelle finden und interpretieren 90
Wahrscheinlichkeiten von Durchschnitten ermitteln 90
Marginale Wahrscheinlichkeiten berechnen 90
Bedingte Wahrscheinlichkeiten identifizieren 91
Die Unabhä ngigkeit zweier Ereignisse prü fen 93
Kapitel 5 Zä hlregeln auf Kombinationen und Permutationen anwenden 95
Permutationen 95
Eine Permutation analysieren 95
Permutationsprobleme mit zusä tzlichen Einschrä nkungen 100
Wahrscheinlichkeiten fü r Permutationsprobleme finden 104
Kombinationen zä hlen 106
Kombinationsprobleme lö sen 106
Kombinationen und das Pascal'sche Dreieck 108
Wahrscheinlichkeitsprobleme mit Kombinationen 109
Komplexere Kombinationen anhand von Poker-Blä ttern studieren 112
Wahrscheinlichkeiten fü r Kombinationen berechnen 117
Kapitel 6 Wider alle Chancen: Wahrscheinlichkeit beim Glü cksspiel 123
Kennen Sie Ihre Chancen: Wahrscheinlichkeit, Chancen und Erwartungswert 124
Lotterie spielen 125
Die Wahrscheinlichkeit, in der Lotterie zu gewinnen 125
Die Quote berechnen 127
Den Erwartungswert eines Lotterieloses berechnen 127
An den Spielautomaten spielen 131
Die durchschnittliche Auszahlung 132
Spielautomatenmythen entzaubern 133
Eine einfache Strategie fü r Spielautomaten 135
Das Roulette-Rad drehen 136
Die Grundlagen des Roulettes 136
Inside und Outside Bets platzieren 137
Eine Roulette-Strategie entwickeln 140
Ihre Chancen, 'Bingo!' zu rufen 141
Die Mö glichkeiten, beim Bingo zu gewinnen 142
Die Wahrscheinlichkeit, Bingo zu bekommen - komplizierter, als Sie vielleicht denken 143
Der Ruin des Spielers 145
Das berü hmte Geburtstagsproblem 146
Teil III Von A nach Binomial: Grundlegende Wahrscheinlichkeitsmodelle 149
Kapitel 7 Grundlagen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 151
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen 151
Was ist eine Zufallsvariable? 151
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden 153
Die kumulative Verteilungsfunktion (KVF) ermitteln und anwenden 158
Die KVF interpretieren 159
Die KVF grafisch darstellen 160
Wahrscheinlichkeiten mit der KVF ermitteln 161
Die WMF aus der KVF ableiten 163
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen 165
Den Erwartungswert von X berechnen 165
Die Varianz von X berechnen 167
Die Standardabweichung von X berechnen 168
Ein Ü berblick ü ber die diskrete Gleichverteilung 169
Die WMF der diskreten Gleichverteilung 169
Die KVF der diskreten Gleichverteilung 170
Der Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung 170
Die Varianz und die Standardabweichung der diskreten Gleichverteilung 171
Kapitel 8 Erfolg und Misserfolg mit der Binomialverteilung berechnen 173
Das Binomialmodell erkennen 173
Die Binomialbedingungen Schritt fü r Schritt prü fen 174
Nicht-binomische Variablen erkennen 175
Wahrscheinlichkeiten fü r das Binomial ermitteln 177
Binomische Wahrscheinlichkeiten mit der WMF berechnen 177
Binomische Wahrscheinlichkeiten mit der KVF ermitteln 182
Der Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung 187
Der Erwartungswert der Binomialverteilung 187
Die Varianz und die Standardabweichung der Binomialverteilung 188
Kapitel 9 Die Normalverteilung 189
Die Grundlagen der Normalverteilung 189
Form, Mittelpunkt und Spreizung 190
Die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) 192
Wahrscheinlichkeiten fü r eine Normalverteilung berechnen und anwenden 194
Den Graphen zeichnen 195
Ein Problem in die Wahrscheinlichkeitsnotation ü bersetzen 195
Die Z-Formel anwenden 196
Mit der Z-Tabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln 197
Normalverteilungsprobleme mit Rü ckwä rtsrechnung 202
Analyse eines Normalverteilungsproblems mit Rü ckwä rtsrechnung 203
Die Z-Tabelle rü ckwä rts lesen 205
Die Z-Formel nach X auflö sen, um X-Einheiten zu berechnen 207
Kapitel 10 Annä herung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 209
Wann benö tigen Sie eine Annä herung der Binomialverteilung? 209
Warum die Annä herung an die Normalverteilung funktioniert, wenn n groß genug ist 210
Symmetrische Verteilungen: Wenn p nahe bei 0, 50 liegt 211
Schiefe Verteilungen: Wenn p nahe bei null oder eins liegt 212
Die Annä herung der Binomialverteilung an die Normalverteilung verstehen 214
Feststellen, ob n groß genug ist 215
Den Mittelwert und die Standardabweichung fü r die Z-Formel finden 215
Die Stetigkeitskorrektur durchfü hren 216
Eine Binomialverteilung durch die Normalverteilung annä hern: Ein Mü nzbeispiel 219
Wahrscheinlichkeiten fü r groß e Erhebungen ermitteln 222
Kapitel 11 Stichprobenverteilungen und der Zentrale Grenzwertsatz 225
Grundlagen einer Stichprobenverteilung 225
Eine Stichprobenstatistik erstellen 226
Mö glichkeiten mit der Stichprobenverteilung auflisten 226
Rettung durch den Zentralen Grenzwertsatz 228
Stichprobenstatistiken mit dem Zentralen Grenzwertsatz (ZGS) berechnen 229
Das Hauptergebnis des ZGS 229
Warum der ZGS funktioniert 230
Die Stichprobenverteilung der Stichprobensumme 234
Die Anwendung des ZGS auf die Stichprobensumme 234
Wahrscheinlichkeiten fü r t mit dem ZGS ermitteln 235
Die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts 238
Die Anwendung des ZGS auf den Stichprobenmittelwert 238
Wahrscheinlichkeiten fü r "X mit dem ZGS berechnen 239
Die Stichprobenverteilung eines Stichprobenanteils 241
Die Anwendung des ZGS auf einen Stichprobenanteil 241
Wahrscheinlichkeiten fü r ^p mit dem ZGS berechnen 242
Kapitel 12 Mö glichkeiten analysieren; Entscheidungen treffen 245
Konfidenzintervalle und Wahrscheinlichkeit 245
Eine Wahrscheinlichkeit abschä tzen 246
Die Kosten einer richtigen Entscheidung abschä tzen 248
Ein Konfidenzintervall mit Wahrscheinlichkeiten interpretieren 249
Wahrscheinlichkeiten und Hypothesentests 249
Eine Wahrscheinlichkeit testen 250
Mit p-Werten Wahrscheinlichkeiten abschä tzen 251
Die Wahrscheinlichkeit, eine Fehlentscheidung zu treffen 252
Data Snooping in Schach halten 253
Wahrscheinlichkeit in der Qualitä tskontrolle 254
Teil IV Fortgeschrittene Wahrscheinlichkeitsmodelle 257
Kapitel 13 Die Poissonverteilung 259
Ankü nfte mit der Poissonverteilung modellieren 259
Die Bedingungen fü r eine Poissonverteilung 259
Die Poisson- und die Binomialverteilung im Vergleich 260
Die Wahrscheinlichkeiten fü r die Poissonverteilung berechnen 261
Die WMF der Poissonverteilung 261
Die KVF der Poissonverteilung 264
Der Erwartungswert und die Varianz der Poissonverteilung 267
Zeitliche oder rä umliche Einheiten ä ndern: der Poissonprozess 267
Eine Poissonverteilung an eine Normalverteilung annä hern 269
Die Bedingungen einer Annä herung an die Normalverteilung erfü llen 269
Die vollstä ndigen Schritte fü r die Annä herung der Poissonverteilung an die Normalverteilung 272
Kapitel 14 Die geometrische Verteilung 275
Die Form der geometrischen Verteilung 275
Die Bedingungen fü r eine geometrische Verteilung 276
Wann wird eine geometrische Verteilung statt einer Binomialverteilung oder Poissonverteilung gewä hlt? 276
Wahrscheinlichkeiten fü r die geometrische Verteilung mit der WMF ermitteln 278
Die WMF fü r die geometrische Verteilung 278
Geometrische Wahrscheinlichkeiten anwenden 279
Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung 280
Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung 281
Die Varianz und die Standardabweichung der geometrischen Verteilung 281
Kapitel 15 Die negative Binomialverteilung 285
Bedingungen fü r eine negative Binomialverteilung 285
Die Bedingungen fü r eine negative Binomialverteilung 286
Gegenü berstellung der negativen Binomialverteilung,
der geometrischen Verteilung und der Binomialverteilung 286
Wahrscheinlichkeiten fü r die negative Binomialverteilung berechnen 287
Die Formel fü r die negative Binomialverteilung 288
Die WMF der negativen Binomialverteilung anwenden 289
Der Erwartungswert und die Varianz der negativen Binomialverteilung 293
Der Erwartungswert der negativen Binomialverteilung 293
Die Varianz und die Standardabweichung der negativen Binomialverteilung 294
Die Formeln fü r den Erwartungswert und die Varianz anwenden 295
Kapitel 16 Die hypergeometrische Verteilung 297
Die Bedingungen fü r die hypergeometrische Verteilung 297
Wahrscheinlichkeiten fü r die hypergeometrische Verteilung berechnen 298
Die WMF der hypergeometrischen Verteilung 299
Die Grenzbedingungen fü r X 301
Mit der WMF Wahrscheinlichkeiten berechnen 302
Der Erwartungswert und die Varianz der hypergeometrischen Verteilung 304
Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung 304
Die Varianz und die Standardabweichung der hypergeometrischen Verteilung 305
Teil V Fü r Gipfelstü rmer: Stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle 307
Kapitel 17 Die stetige Gleichverteilung 309
Die Eigenschaften der stetigen Gleichverteilung 309
Die Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung 310
Die allgemeine Form von f(x) 311
f(x) fü r ein gegebenes a und b berechnen 312
Den Wert von b unter der Bedingung f(x) finden 312
Wahrscheinlichkeiten fü r die stetige Gleichverteilung berechnen 314
'Kleiner als'-Wahrscheinlichkeiten berechnen 314
'Grö ß er als'-Wahrscheinlichkeiten berechnen 316
Wahrscheinlichkeiten zwischen zwei Werten berechnen 317
Kumulative Wahrscheinlichkeiten mit F(x) berechnen 318
Der Erwartungswert und die Varianz der stetigen Gleichverteilung 320
Der Erwartungswert der stetigen Gleichverteilung 320
Die Varianz und die Standardabweichung der stetigen Gleichverteilung 321
Die Gleichverteilung in einem Zufallsgenerator verwenden 322
Kapitel 18 Die Exponentialverteilung (und ihre Beziehung zur Poissonverteilung) 323
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung 324
Wahrscheinlichkeiten fü r eine Exponentialverteilung berechnen 325
'Kleiner als'-Wahrscheinlichkeiten fü r eine Exponentialverteilung berechnen 326
'Grö ß er als'-Wahrscheinlichkeiten fü r eine Exponentialverteilung berechnen 328
'Zwischen'-Wahrscheinlichkeiten fü r eine Exponentialverteilung berechnen 329
Der Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung 331
Der Erwartungswert der Exponentialverteilung 331
Die Varianz und Standardabweichung der Exponentialverteilung 332
Die Beziehungen zwischen Poissonverteilungen und Exponentialverteilungen 333
Die Poisson- und die Exponentialverteilung in Aktion 334
Teil VI Der Top-Ten-Teil 335
Kapitel 19 Zehn Schritte zu einer besseren Note in Wahrscheinlichkeitsrechnung 337
Sich mit einem Problem vertraut machen 337
Die Frage verstehen 338
Den Kern von Wahrscheinlichkeitsproblemen herausschä len 339
Die Informationen organisieren 339
Schreiben Sie alle Formeln nieder 340
Prü fen Sie die Bedingungen 341
Mit Zuversicht rechnen 341
Prä sentieren Sie Ihren Lö sungsgang 342
Prü fen Sie Ihre Lö sung 343
Die Ergebnisse interpretieren 345
Eine Zusammenfassung erstellen 345
Kapitel 20 Die Top-Ten-Wahrscheinlichkeitsfehler (plus einem) 347
Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen null und eins liegen muss 347
Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 348
Wahrscheinlichkeiten fü r kurzfristige Vorhersagen verwenden 348
Nicht glauben, dass 1-2-3-4-5-6 gewinnen kann 349
An Lä ufe beim Wü rfeln glauben 350
Jeder Situation eine 50-50-Chance einrä umen 350
Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 351
Die falsche Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden 352
Die Bedingungen fü r ein Wahrscheinlichkeitsmodell nicht prü fen 353
Permutationen und Kombinationen verwechseln 354
Unabhä ngigkeit annehmen 355
Anhang A: Referenztabellen 357
Stichwortverzeichnis 367
