Gewöhnliche Differentialgleichungen

Das vorliegende Buch ist als Leitfaden im eigentlichen Sinne des Wortes gedacht. Es ist so aufgebaut. daß es den Studierenden vom zweiten Studienjahr an bis in seine berufliche Tätigkeit hinein begleiten und ihm helfen kann, auf die wichtigsten Fragen nach dem Warum und Wieso bei gewöhnlichen Differentialgleichungen eine Ant­ wort zu finden. Die Studierenden, an die sich dieses Buch wendet, sind dabei nicht nur Mathematiker, sondern auch Naturwissenschaftler und Ingenieure (hier vor allem Regelungstechniker) sowie Vertreter von Disziplinen, in denen mit dynamischen Modellen gearbeitet wird (wie Ökonometer und Biologen). Durch die Bedürfnisse dieses potentiellen Leserkreises sowie durch die Zielsetzung wurde der Grund­ konzeption des Buches von vornherein eine Reihe von Bedingungen auferlegt. So ergab sich vor allem die Notwendigkeit, den in den letzten Jahren deutlich geworde­ nen Trend zur nicht-linearen Theorie und zur Orientierung an Kontrollproblemen gegenüber den traditionellen Lehrinhalten stärker zu betonen. Bei der Auswahl der Themen mußte es vermieden werden, sich allzusehr mit Allgemeinheiten aufzuhalten und im Vorfeld gerade jener Probleme stehenzubleiben, derentwillen man zumeist ein Buch über Differentialgleichungen zur Hand nimmt. Der begriffiiche Aufwand sollte, so lautete eine weitere Forderung, in einem angemessenen Verhältnis zu den konkreten Resultaten stehen und auf eine Vorbildung zugeschnitten sein, wie man sie etwa in den mathematischen Grundvorlesungen des ersten Studienjahres (Ana­ lysis I und II, Lineare Algebra) erwirbt.

I. Elementare Integrationsmethoden.- 1. Hilfsmittel aus der Analysis.- 2. Was ist eine Differentialgleichung?.- 3. Differentialungleichungen.- 4. Differentialgleichungen 1. Ordnung. Elementare Integrationsmethoden.- 5. Lineare Differentialgleichungen.- 6. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. Integration durch Reihenansatz.- 7. Einiges über ebene autonome Systeme. Phasenebene.- 8. Singulare Punkte.- 9. Das Anfangswertproblem. Der lokale Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- II. Lineare Differentialgleichungen.- 1. Grundlegende Aussagen über Lösungen.- 2. Fundamentalmatrizen.- 3. Die adjungierte Gleichung.- 4. Koordinatentransformationen. Variation der Konstanten.- 5. Eine Reihendarstellung für die Übergangsmatrix.- 6. Lineare Gleichungen mit komplexen Matrizen A(t) und komplexen Vektorfunktionen g(t).- 7. Einige Hilfsmittel aus der Linearen Algebra.- 8. Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 9. Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 10. Skalare lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 11. Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit bei linearen Systemen.- III. Allgemeine Theorie nicht-linearer Differentialgleichungen.- 1. Grenzpunkte.- 2. Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Anfangswertproblems.- 3. Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen.- 4. Abhängigkeit der Lösungen von Parametern.- 5. Autonome Differentialgleichungen.- 6. Ljapunov-Funktionen.- 7. Stabilität im Sinne Ljapunovs. Direkte Methode.- 8. Ein algebraischer Hilfssatz.- 9. Ein Kriterium für asymptotische Stabilität.- 10. Der Einzugsbereich einer asymptotisch stabilen Lösung.- 11. Ein Beispiel aus der Regelungstheorie.- IV. Ebene autonome Systeme.- 1. Einleitung.- 2. Transversalen.- 3. Die Theorie von Poincaré-Bendixson.- 4. Weitere Eigenschaften vongeschlossenen Trajektorien.- 5. Beispiel: Die Liénardsche Gleichung ü + h(u) ü+ g(u) = 0.- V. Linearisierung.- 1. Der Fixpunktsatz für kontrahierende Abbildungen.- 2. Einige Hilfsmittel aus der Analysis.- 3. Ergänzungen zur Theorie der linearen Dgln.- 4. Abschätzung von Lösungen linearer Dgln. durch ihre Randwerte.- 5. Integralmannigfaltigkeiten.- 6. Eindeutige Lösbarkeit des Randwertproblems.- 7. Integralmannigfaltigkeit mit beschränkter Projektion.- 8. Die stabile Mannigfaltigkeit.- 9. Anwendung auf Stabilitätsprobleme.- 10. Kleine Parameter.- 11. Die Methode von Krylov und Bogoljubow.- VI. Optimierung.- 1. Kontrollprobleme.- 2. Einiges über konvexe Teilmengen des Rn.- 3. Abhängigkeit der Lösungen von variablen Sprungstellen.- 4. Der Erreichbarkeitskegel.- 5. Ein weiterer Satz über den Erreichbarkeitskegel.- 6. Das Maximumprinzip von Pontrjagin für Probleme mit festen Endpunkten.- 7. Probleme mit variablen Endpunkten. Transversalitätsbedingungen.- 8. Beispiele.- VII. Konvexe Kegel im Rn.- VIII. Lösungen zu ausgewählten Aufgaben.- Symbolverzeichnis.- Namen- und Sachverzeichnis.