Physik ohne Mathematik, das ist unmöglich. Aber wenn Sie Ihre liebe Mühe mit Mathe haben, dann hilft Ihnen dieses Buch, ganz gleich aus welchem Grund Sie sich mit Physik beschäftigen müssen: als Studienanfänger der Physik, als Student der Ingenieurwissenschaften oder der Medizin. Dieses Buch erklärt Ihnen, was Sie über einfache, komplexe und mehrdimensionale Analysis, Differentialgleichungen und Lineare Algebra wissen sollten. Zahlreiche Beispiele machen die Erläuterungen noch anschaulicher.
Inhaltsverzeichnis
Ü ber den Autor 23
Danksagung 23
Einleitung 25
Ein leicht verstä ndlicher Einstieg in die hö here Mathematik anhand von Beispielen 25
Ü berall praktische Beispiele 26
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 26
Konventionen in diesem Buch 27
Wie dieses Buch strukturiert ist 27
Teil I: Eindimensionale Analysis 27
Teil II: Lineare Algebra 28
Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen 28
Teil IV: Mehrdimensionale Analysis 28
Teil V: Der Top-Ten-Teil 29
Die Symbole in diesem Buch 29
Den modularen Aufbau fü r sich nutzen 29
Teil I Eindimensionale Analysis 31
Kapitel 1 Grundlagen der Analysis 33
Was Funktionen eigentlich sind 33
Graphische Darstellung von Funktionen 35
Polynome einfach verstehen 36
Bruchrechnung: Rationale Funktionen 39
Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 40
Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 41
Von Umkehr- und Inversen Funktionen 43
Trigonometrische Funktionen 44
Trigonometrische Funktionen zeichnen 45
Identifikation mit trigonometrischen Identitä ten 46
Grenzwerte einer Funktion Verstehen 46
Drei Funktionen erklä ren den Grenzwertbegriff 47
Links- und rechtsseitige Grenzwerte 48
Die formale Definition eines Grenzwertes - wie erwartet! 48
Unendliche Grenzwerte und Vertikale Asymptoten 49
Grenzwerte fü r x gegen unendlich 50
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 50
Einfache Grenzwerte auswerten 53
Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 53
Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 54
Methode 1: Faktorisieren 54
Methode 2: Konjugierte Multiplikation 54
Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 55
Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 56
Grenzwerte bei unendlich auswerten 57
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 58
Algebraische Tricks fü r Grenzwerte bei unendlich verwenden 59
Kapitel 2 Differentiation von Funktionen einer Verä nderlichen 61
Erste Schritte des Ableitens 62
Sein oder nicht sein? Drei Fä lle, in denen die Ableitung nicht existiert 62
Grundlegende Regeln der Differentiation 64
Die Konstantenregel 64
Die Potenzregel 64
Die Koeffizientenregel 65
Die Summenregel - und die kennen Sie schon 65
Trigonometrische Funktionen differenzieren 65
Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 66
Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 67
Die Produktregel 67
Die Quotientenregel 67
Die Kettenregel 68
Implizite Differentiation 71
Logarithmische Differentiation 72
Differentiation von Umkehrfunktionen 73
Keine Angst vor hö heren Ableitungen 75
Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 76
Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 76
Bauchgefü hle: Konvexitä t und Wendepunkte 77
Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 77
Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 78
Achtung - Nicht auf der Spitze stecken bleiben 78
Halten Sie sich fest - nun geht's bergab! 78
Jetzt wird's kritisch an den Punkten! 78
Lokale Extremwerte finden 79
Die kritischen Werte suchen 80
Der Test mit der ersten Ableitung - wachsend oder fallend? 81
Der Test mit der zweiten Ableitung - Krü mmungsverhalten! 82
Globale Extremwerte finden 83
Konvexitä t und Wendepunkte praktisch bestimmen 85
Die Graphen von Ableitungen - jetzt wird gezeichnet! 87
Der Zwischenwertsatz - Es geht nichts verloren 90
Der Mittelwertsatz - Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 92
Das nü tzliche Taylorpolynom 93
Die Regel von l'Hospital 96
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 98
Kombinieren der Methoden - nur Geduld! 98
Kapitel 3 Von Folgen und Reihen 101
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 101
Folgen aneinanderreihen 102
Konvergenz und Divergenz von Folgen 103
Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital bestimmen 104
Reihen summieren 105
Partialsummen 105
Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 105
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 107
Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 107
Drei grundlegende Reihen und die zugehö rigen Prü fungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 108
Geometrische Reihen 108
Harmonische Reihe 109
Teleskop-Reihen 110
Drei Vergleichskriterien fü r Konvergenz beziehungsweise Divergenz 111
Der direkte Vergleich - Minoranten-/Majorantenkriterium 111
Das Grenzwertkriterium 112
Quotienten- und Wurzelkriterium 114
Das Quotientenkriterium 114
Das Wurzel-Kriterium 115
Alternierende Reihen 116
Absolute oder normale Konvergenz - das ist die Frage! 116
Leibniz und das Kriterium fü r alternierende Reihen 117
Ableitungen und Integrale fü r Grenzprozesse nutzen 120
Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 122
Potenzreihen (er)kennen 122
Konvergenzbereich von Potenzreihen 123
Rechnen Sie mit Potenzreihen 124
Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 125
Kapitel 4 Eindimensionale Integration 127
Das bestimmte Integral - Flä chen berechnen 127
Stammfunktionen suchen - rü ckwä rts ableiten 129
Flä chenfunktionen beschreiben 130
Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 131
Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 132
Stammfunktionen finden - Drei grundlegende Techniken 135
Umkehrregeln fü r Stammfunktionen 135
Umkehrregeln zum Aufwä rmen 135
Die umgekehrte Potenzregel 135
Genial einfach: Raten und Prü fen 136
Die Substitutionsmethode 137
Flä chen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 140
Partielle Integration: Teile und Herrsche! 141
Wä hlen Sie weise! 143
Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 144
Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 145
Integrale mit Sinus und Kosinus 146
Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 146
Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 147
Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 147
Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrü che 148
Fall 1: Der Nenner enthä lt nur lineare Faktoren 149
Fall 2: Der Nenner enthä lt nicht zu kü rzende quadratische Faktoren 150
Fall 3: Der Nenner enthä lt lineare oder quadratische Faktoren in hö herer Potenz 151
Bonusrunde - Der Koeffizientenvergleich 152
Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 153
Grau ist alle Theorie - Praktische Integrale! 153
Die Flä che zwischen zwei Funktionen berechnen 154
Bogenlä ngen bestimmen 156
Oberflä chen von einfachen Rotationskö rpern bestimmen 158
Teil II Lineare Algebra 161
Kapitel 5 Die Grundlagen: Vektorrä ume und lineare Gleichungssysteme 163
Vektoren erleben 163
Vektoren veranschaulichen 164
Mit Vektoren anschaulich rechnen 166
Mit Vektoren rechnen 167
Betrag eines Vektors berechnen 170
Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 171
Schö ne Vektorraumteilmengen: Untervektorrä ume bestimmen 174
Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 176
Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 179
Arten von linearen Gleichungssystemen 180
Homogene Gleichungssysteme 181
Inhomogene Gleichungssysteme 181
Ü berbestimmte Gleichungssysteme 182
Unterbestimmte Gleichungssysteme 182
Quadratische Gleichungssysteme 183
Nicht lö sbare Gleichungssysteme 184
Graphische Lö sungsansä tze fü r LGS 184
Kapitel 6 Ü berleben in der Welt der Matrizen . 185
Was Matrizen wirklich sind 185
Addition von Matrizen 186
Skalarmultiplikation von Matrizen 187
Multiplikation von Matrizen 187
Matrizen in Produktionsprozessen 188
Transponierte und symmetrische Matrizen 190
Keine Angst vor inversen Matrizen 191
Matrizen und lineare Gleichungssysteme 192
Das Lö sungsverfahren: Der Gauß sche Algorithmus 192
Der Rang von Matrizen 197
Matrizen invertieren in der Praxis 198
Kriterien fü r die Lö sbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 199
Kriterien fü r die Lö sbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 200
Matrizen und lineare Abbildungen 200
Lineare Abbildungen an Beispielen 201
Matrizen als lineare Abbildungen 202
Bilder und Kerne, Rä nge und Defekte - in der Theorie 202
Bilder und Kerne, Rä nge und Defekte - in der Praxis 203
Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 205
Matrizen und ihre Determinanten 207
Determinanten von 2 × 2 - Matrizen 207
Determinanten von 3 × 3 - Matrizen 207
Determinanten von allgemeinen Matrizen 208
Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 210
Die Cramersche Regel 211
Die Inversen mittels Adjunktenformel berechnen 213
Flä chen und Volumina mittels Determinanten berechnen 215
Kreuzprodukt von Vektoren 216
Kapitel 7 Das Matrizen-Finale: Hauptachsentransformationen und euklidische Vektorrä ume 219
Basistransformation 220
Auf den Maß stab kommt es an! 220
Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 221
Matrixdarstellung bei unterschiedlichen Basen 223
Basistransformationsmatrizen 225
Ü berzeugende Diagramme 226
Eigenwerte und Eigenvektoren 228
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 228
Eigenwerte einer Matrix berechnen 228
Eigenvektoren einer Matrix berechnen 230
Eigenrä ume finden und analysieren 231
Matrizen diagonalisieren 232
Drehungen und Spiegelungen 236
Drehungen in der Ebene 237
Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 239
Spiegelungen in der Ebene 239
Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 241
Drehungen im dreidimensionalen Raum 244
Mit Skalarprodukten messen kö nnen 247
Starten mit dem Standard-Skalarprodukt 248
Die allgemeinen Skalarprodukte 250
Die Norm als Lä ngenbegriff verstehen 251
Wichtige Eigenschaften der Norm 251
Alles Senkrecht? - Orthogonalitä t erwü nscht 252
Den Ö ffnungswinkel zwischen Vektoren (er)kennen 252
Allgemeine euklidische Vektorrä ume untersuchen 253
Orthogonale Vektoren allgemein beschreiben 254
Orthogonalsysteme und orthogonale Basen 254
Orthonormale Systeme und orthonormale Basen 255
Teil III Komplexe Analysis, Fourieranalysis Und Differentialgleichungen 259
Kapitel 8 Nicht reell aber real - die komplexen Zahlen 261
Was komplexe Zahlen wirklich sind 261
Komplexe Rechenoperationen 263
Die komplexe Addition 263
Die komplexe Multiplikation 263
Die Konjugierte einer komplexen Zahl 264
Die komplexe Division 265
Zusammenhä nge zwischen den komplexen Operationen 265
Komplexe quadratische Gleichungen 266
Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 267
Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 268
Komplexe Potenzen und Wurzeln 271
Anwendungen komplexer Zahlen 273
Kapitel 9 Funktionentheorie: Komplexe Funktionen 277
Tusch bitte: Holomorphe Funktionen 277
Komplexe versus reelle Differenzierbarkeit 281
Elementare komplexe Funktionen 282
Komplexe Exponentialfunktion 282
Komplexe Logarithmusfunktion 283
Komplexe trigonometrische Funktionen 284
Nicht ü ber isolierte Singularitä ten stolpern 284
Noch mehr Reihen: die Laurentreihen 286
(Fast) Keine Angst vor den Residuen 287
Komplexe Kurvenintegrale berechnen 288
Integrale mittels Parametrisierungen lö sen 289
Integrale mittels Stammfunktionen lö sen 290
Integrale mittels Residuensatz lö sen 290
Integrale mittels Cauchyscher Integralformeln lö sen 291
Praktische Anwendung der komplexen auf reelle Integrale 292
Kapitel 10 Fourierreihen und -integrale 295
Periodische Funktionen erkennen und erschaffen 295
Der periodische Fall: Fourierreihen 297
Die komplexe Form der Fourierreihe 301
Der nicht-periodische Fall: Fouriertransformation 302
Praktische Berechnung der Fouriertransformierten 304
Anwendung der Fourieranalyse - kurzgefasst 306
Kapitel 11 Gewö hnliche Differentialgleichungen 309
Einfü hrende Gedanken zu Differentialgleichungen 309
Mit Isoklinen zur Lö sung 311
Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 314
Einfache Spezialfä lle von Differentialgleichungen 315
Der einfachste Fall: y' = f(x) 315
Der Fall: y'= f(x) g(y) - Trennung der Variablen 315
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317
Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317
Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 318
Praktische Lö sungsmethode: Variation der Konstanten 320
Systeme gewö hnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 321
Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 322
Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 324
Gewö hnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 326
Ä quivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 327
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lö sen 328
Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 328
Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 329
Spezielle Lö sung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 331
Anwendungen in der Schwingungslehre 332
Teil IV Mehrdimensionale Analysis 335
Kapitel 12 Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler 337
Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 338
Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 341
Schnitte von Graphen 341
Hö hen- und Niveaulinien von Graphen 343
Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 344
Partielle Ableitungen - auch hier ein Kinderspiel 346
Unabhä ngiges Pä rchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 348
Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 349
Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 349
Gewü nschte Zugabe: Totales Differential 350
Rechenregeln des Ableitens fü r Funktionen mehrerer Variabler 351
Implizite Funktionen differenzieren kö nnen 353
Hö here Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 354
Kurvendiskussion fü r Funktionen mehrerer Variabler 356
Kritische Punkte von Funktionen in hö heren Dimensionen 356
Hinreichende Kriterien fü r Extrema und Sattelpunkte 357
Hinreichende Kriterien fü r Funktionen in zwei Variablen 359
Extremwerte unter Nebenbedingungen 361
Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lö sen 361
Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lö sen 364
Kopf an Kopf Rennen - beide Verfahren im direkten Vergleich 365
Kapitel 13 Mehrdimensionale Integration 371
Flä chenintegrale - ein Einstieg 371
Das Prinzip des Cavalieri - Volumen der Drehkö rper 377
Volumenintegrale - der Aufstieg 379
Das Trä gheitsmoment einer homogenen Kugel 381
Volumen eines dreidimensionalen Rotationskö rpers 382
Das Volumen des Torus auf zwei Arten berechnen 383
Parametrisierung des Torus 384
Volumen des Torus als Rotationskö rper 385
Volumen des Torus mithilfe der zweiten Guldinschen Regel 387
Integrierbare Funktionen mehrerer Variabler - der Gipfel 387
Mit feinster (Quader-)Rasterung zum Ziel kommen 388
Endlich Gebiete erkennen 389
Offene und (weg-)zusammenhä ngende Mengen 390
Integrale ü berzeugend definieren und verstehen 391
Substitution durch Transformation 393
Kapitel 14 Vektoranalysis in drei Dimensionen 397
Skalar- und Vektorfelder 397
Keine Angst vor Differentialoperatoren 399
Gradient eines Skalarfeldes 400
Divergenz eines Vektorfeldes 400
Rotation eines Vektorfeldes 402
Rechenregeln fü r Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace und Nabla 403
Das ü bersichtliche Nabla-Kalkü l 404
Langsam durch Kurven und ihre Integrale 405
Kurven in der Ebene und im Raum 406
Kurven und ihre (Bogen-)Lä nge 408
Massen, Schwerpunkte und Oberflä chen rotierender Kurven 410
Die Oberflä che des Torus auf zwei Arten berechnen 412
Skalare Kurvenintegrale - der Lä nge nach integrieren 413
Vektorielle Kurvenintegrale - gut fü r die Zirkulation 414
Wegunabhä ngigkeit von Gradientenfeldern 415
Integrale ü ber geschlossenen Kurven 415
Integrabilitä tsbedingung fü r Gradientenfelder 416
Oberflä chlich durch den Raum 419
Flä chen im dreidimensionalen Raum 419
Massen und Schwerpunkte von Flä chen im Raum 421
Flä chen orientieren - Auß enseiten bestimmen 421
Skalare Oberflä chenintegrale - Oberflä chen berechnen 423
Vektorielle Oberflä chenintegrale - im Fluss stehen 423
Den Fluss am Kreiskegel schrittweise berechnen 425
Formeln von Gauß , Stokes, Green und Maxwell 428
Gauß scher Integralsatz - der erste Hö hepunkt 428
Stokesscher Integralsatz - der zweite Hö hepunkt 429
Greensche Formeln - in Kü rze und Wü rze 432
Maxwellgleichungen - kurz und knapp! 433
Teil V Der Top-Ten-Teil 435
Kapitel 15 Mehr als zehn wichtige Formeln 437
Wichtiger Grenzwert 437
Wichtiger Mittelwertsatz 437
Wichtiger Taylorreihenansatz 438
Wichtiger Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 438
Wichtiger Betrag eines Vektors 438
Wichtiger Dimensionssatz fü r lineare Abbildungen 438
Wichtiges Orthonormalisierungsverfahren 439
Wichtige komplexe Wurzeln 439
Wichtiger Residuensatz 439
Wichtige Fouriertransformation 439
Wichtige Lö sung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 440
Wichtige Hessematrix 440
Wichtige Integrale ü ber Gebieten 440
Wichtige Sä tze von Gauß und Stokes 440
Bonusrunde: Wichtige Gleichung 441
Kapitel 16 Zehn interessante Ansä tze der Physik 443
Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 443
Dopplers Effekte 445
Keplers Planetengesetze 445
Galileis Fallgesetz 446
Newtons Trä gheitsgesetz 446
Maxwell und seine Gleichungen 446
Plancks Wirkung 447
Schrö dingers Gleichung 447
Heisenbergsche Unschä rfe 448
Einsteins E = mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativitä t 448
Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitä tstheorie 449
Stichwortverzeichnis 451
