Seit Erscheinen meines Buches "Lineare Operatoren in Hilberträumen" [38] im Jahre 1976 und dessen englischer Übersetzung [39] im Jahre 1980 haben mich viele freundliche Stellungnahmen erreicht. Häufig wurde aber auch bedauert, daß die Anwendungen auf Differentialoperatoren der Quantenme chanik und auf die Streutheorie aus Gründen des Umfangs nur sehr un befriedigend behandelt werden konnten. Dieser Mangel soll jetzt behoben werden. Dazu ist allerdings die Verteilung des Stoffes auf zwei Bände nötig geworden. Ich bin Herrn Dr. P. Spuhler vom Teubner-Verlag sehr dankbar dafür, daß er diesen Plan von Anfang an unterstützte. Der vorliegende erste Teil soll die Grundlagen der Theorie darstellen; Anwen dungen treten hier nur in Form von illustrativen Beispielen auf. Dabei hat es auf Hilberträume zu be sich als nützlich erwiesen, sich nicht von Anfang an schränken, sondern, soweit dies die Darstellung nicht zu sehr belastet, auch allgemeinere normierte oder Banachräume zu betrachten. Dieser erste Band sollte deshalb eine für Mathematiker und Physiker nützliche Einführung in die Grundlagen der Funktionalanalysis und der Hilbertraumtheorie bieten, die auch zum Selbststudium geeignet ist. Als Voraussetzung zur Lektüre soll te dabei der Stoff der üblichen Anfängervorlesungen für Mathematiker oder Physiker und einige Kenntnisse aus der Funktionentheorie und der Theo rie der gewöhnlichen Differentialgleichungen genügen. Eine für diese Zwecke geeignete vollständige Einführung in die Lebesguesche Integration wird in Anhang A gegeben. Der geplante zweite Teil wird dann Anwendungen auf die gewöhnlichen und partiellen Differentialoperatoren der Quantenmechanik einschließlich einer Einführung in die Streutheorie enthalten.
Inhaltsverzeichnis
1 Metrische Räume, normierte Räume und Hilberträume. - 1. 1 Metrische und normierte Räume. - 1. 2 Vektorräume mit Skalarprodukt (Prähilberträume). - 1. 3 Konvergenz und Vollständigkeit. - 1. 4 Lp-Räume. - 1. 5 Orthogonalität. - 1. 6 Tensorprodukte von Hilberträumen. - 1. 7 Übungen. - 2 Lineare Operatoren und Funktionale. - 2. 1 Beschränkte Operatoren. - 2. 2 Stetige lineare Funktionale. - 2. 3 Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit, starke und schwache Konvergenz. - 2. 4 Der adjungierte Operator. - 2. 5 Orthogonale Projektionen, isometrische und unitäre Operatoren. - 2. 6 Anhang zu Kapitel 2. - 2. 7 Übungen. - 3 Kompakte Operatoren. - 3. 1 Definition und grundlegende Eigenschaften. - 3. 2 Entwicklungssätze. - 3. 3 Hilbert Schmidt Operatoren. - 3. 4 Die Schattenklassen kompakter Operatoren. - 3. 5 Übungen. - 4 Abgeschlossene Operatoren. - 4. 1 Satz vom abgeschlossenen Graphen. - 4. 2 Halbbeschränkte Operatoren und Formen. - 4. 3 Normale Operatoren. - 4. 4 Komplexifizierung und Konjugation. - 4. 5 Übungen. - 5 Spektraltheorie abgeschlossener Operatoren. - 5. 1 Grundbegriffe der Spektraltheorie. - 5. 2 Das Spektrum selbstadjungierter, symmetrischer und normaler Operatoren. - 5. 3 Operatoren mit reinem Punktspektrum. - 5. 4 Spektraltheorie allgemeiner kompakter Operatoren. - 5. 5 Übungen. - 6 Klassen linearer Operatoren. - 6. 1 Multiplikationsoperatoren. - 6. 2 Matrixoperatoren. - 6. 3 Integraloperatoren. - 6. 4 Hilbert-Schmidt- und Carlemanoperatoren. - 6. 5 Differentialoperatoren in L2(a, b). - 6. 6 Übungen. - 7 Quantenmechanik und Hilbertraumtheorie. - 7. 1 Formalismus der Quantenmechanik. - 7. 2 Die Evolutionsgruppe und die Selbstadjungiertheit des Schrödin-geroperators. - 7. 3 Übungen. - 8 Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren. - 8. 1 Integrale bezüglich einer Spektralschar. - 8. 2 Operatoren als Integrale überSpektralscharen. - 8. 3 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren. - 8. 4 Funktionen selbstadjungierter Operatoren. - 8. 5 Spektrum und Spektralschar. - 8. 6 Halbordnung selbstadjungierter Operatoren. - 8. 7 Übungen. - 9 Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren. - 9. 1 Störungen selbstadjungierter Operatoren. - 9. 2 Stabilität des wesentlichen Spektrums. - 9. 3 Norm- und starke Resolventenkonvergenz. - 9. 4 Übungen. - 10 Selbstadjungierte Fortsetzungen symmetrischer Operatoren. - 10. 1 Defektzahlen und Cayleytransformierte. - 10. 2 Konstruktion selbstadjungierter Fortsetzungen. - 10. 3 Kriterien für die Gleichheit der Defektzahlen. - 10. 4 Spektren selbstadjungierter Fortsetzungen symmetrischer Operatoren. - 10. 5 Übungen. - 11 Fouriertransformation und Differentialoperatoren. - 11. 1 Fouriertransformation auf L1(? m) und S(? m). - 11. 2 Fouriertransformation in L2(? m). - 11. 3 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. - 11. 4 Elliptische Differentialoperatoren und Sobolev-Räume. - 11. 5 Der Operator ? in L2(? m). - 11. 6 Übungen. - A Einführung in die Lebesguesche Integrationstheorie. - A. 1 Prämaße und Nullmengen. - A. 2 Das Integral für Elementarfunktionen. - A. 3 Integrierbare Funktionen. - A. 4 Grenzwertsätze. - A. 5 Meßbare Mengen und Funktionen, Maße. - A. 6 Produktmaße; der Satz von Fubini-Tonelli. - A. 7 Der Satz von Radon-Nikodym. - A. 8 Absolut stetige Funktionen und partielle Integration. - A. 9 Komplexe Maße. - A. 10 Übungen. - B Die Stieltjessche Umkehrformel und ein Satz von G. Herglotz. - C Der Satz von Stone Weierstraß. - Literatur. - Namen- und Sachverzeichnis.
