Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung

1 Einführung.- 1.1 Konvexe Mengen und Funktionen.- 1.2 Konvexe Optimierungsaufgaben.- 1.3 Warum spezielle Verfahren?.- 2 Konvexe Mengen und Funktionen.- 2.1 Konvexe Mengen.- 2.2 Projektion auf konvexe Mengen.- 2.3 Trennungssätze.- 2.4 Konvexe Funktionen.- 2.5 Operationen mit konvexen Funktionen.- 2.6 Affine Minoranten.- 2.7 Lokale Lipschitz-Stetigkeit.- 2.8 Subdifferential und Richtungsableitung.- 2.9 Maximumfunktionen.- 3 Konvexe Optimierungsprobleme.- 3.1 Unrestringierte Probleme.- 3.2 Abstiegsrichtungen.- 3.3 Probleme mit allgemeinen konvexen Restriktionen.- 3.4 Lineare Nebenbedingungen.- 4 Das Subgradientenverfahren.- 4.1 Das Verfahren.- 4.2 Konvergenzbetrachtungen.- 4.3 Numerische Beispiele.- 5 Approximative Ableitungen.- 5.1 Approximation des Subdifferentials.- 5.2 Approximation der Richtungsableitung.- 5.3 Approximative Minima.- 5.4 Approximative Abstiegsrichtungen.- 6 Approximative Abstiegsverfahren.- 6.1 Grundlegende Verfahrenskonzepte.- 6.1.1 Verwendung eines Bundles.- 6.1.2 Approximative Suchrichtungen.- 6.1.3 Verfahren mit approximativer Suchrichtung.- 6.2 Das Schrittweitenverfahren.- 6.2.1 Iterative Berechnung der Schrittweite.- 6.2.2 Das Verfahren.- 6.2.3 Konvergenz des Schrittweitenverfahrens.- 6.3 Konstruktion des Bundles.- 6.4 Ein implementierbares Abstiegsverfahren.- 6.4.1 Das Verfahren.- 6.4.2 Konvergenz des Verfahrens.- 7 Bundle-Verfahren.- 7.1 Stopp-Kriterien.- 7.2 Allgemeiner Verfahrensablauf.- 7.3 Numerische Beispiele.- 8 Bundle-Trust-Region-Verfahren.- 8.1 Grundlage des Verfahrens.- 8.2 Das Trust-Region-Problem.- 8.3 Das Verfahrenskonzept.- 8.4 Implementierung des Verfahrens.- 8.4.1 Anpassung des Trust-Region-Parameters.- 8.4.2 Ein Abbruchkriterium.- 8.4.3 Kriterien für einen Abstiegsschritt.- 8.4.4 Kriterien für einen Nullschritt.- 8.4.5 Berechnung des Trust-Region-Parameters.- 8.4.6 Konstruktion des Bundles.- 8.5 Das Bundle-Trust-Region-Verfahren.- 8.6 Konvergenz des Verfahrens.- 8.7 Numerische Beispiele.- 8.8 Probleme mit linearen Restriktionen.- Übungsaufgaben.

:Prof. Dr. Walter Alt, Universität Jena