Konvexe Optimierungsprobleme mit einer nichtglatten Zielfunktion treten in vielen Anwendungen auf, beispielsweise im Zusammenhang mit Penalty-Verfahren für differenzierbare Optimierungsprobleme, mit der Lagrange-Relaxation bei kombinatorischen Optimierungsproblemen oder bei der Strukturoptimierung von Stabwerken. Die wichtigsten numerischen Verfahren zur Lösung solcher Optimierungsprobleme sind Subgradienten- und Bundle-Verfahren. Das Buch gibt eine kompakte Einführung in die Grundlagen dieser Verfahren, die den Leser in die Lage versetzt, einfache Versionen der Verfahren selbst zu implementieren.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung.- 1.1 Konvexe Mengen und Funktionen.- 1.2 Konvexe Optimierungsaufgaben.- 1.3 Warum spezielle Verfahren?.- 2 Konvexe Mengen und Funktionen.- 2.1 Konvexe Mengen.- 2.2 Projektion auf konvexe Mengen.- 2.3 Trennungssätze.- 2.4 Konvexe Funktionen.- 2.5 Operationen mit konvexen Funktionen.- 2.6 Affine Minoranten.- 2.7 Lokale Lipschitz-Stetigkeit.- 2.8 Subdifferential und Richtungsableitung.- 2.9 Maximumfunktionen.- 3 Konvexe Optimierungsprobleme.- 3.1 Unrestringierte Probleme.- 3.2 Abstiegsrichtungen.- 3.3 Probleme mit allgemeinen konvexen Restriktionen.- 3.4 Lineare Nebenbedingungen.- 4 Das Subgradientenverfahren.- 4.1 Das Verfahren.- 4.2 Konvergenzbetrachtungen.- 4.3 Numerische Beispiele.- 5 Approximative Ableitungen.- 5.1 Approximation des Subdifferentials.- 5.2 Approximation der Richtungsableitung.- 5.3 Approximative Minima.- 5.4 Approximative Abstiegsrichtungen.- 6 Approximative Abstiegsverfahren.- 6.1 Grundlegende Verfahrenskonzepte.- 6.2 Das Schrittweitenverfahren.- 6.3 Konstruktion des Bundles.- 6.4 Ein implementierbares Abstiegsverfahren.- 7 Bundle-Verfahren.- 7.1 Stopp-Kriterien.- 7.2 Allgemeiner Verfahrensablauf.- 7.3 Numerische Beispiele.- 8 Bundle-Trust-Region-Verfahren.- 8.1 Grundlage des Verfahrens.- 8.2 Das Trust-Region-Problem.- 8.3 Das Verfahrenskonzept.- 8.4 Implementierung des Verfahrens.- 8.5 Das Bundle-Trust-Region-Verfahren.- 8.6 Konvergenz des Verfahrens.- 8.7 Numerische Beispiele.- 8.8 Probleme mit linearen Restriktionen.- Übungsaufgaben.
