Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Die Simulation technischer Prozesse erfordert in der Regel die Lösung von linearen Gleichungssystemen großer Dimension. Hierfür werden moderne vorkonditionierte Iterationsverfahren (z. B. CG, GMRES, BiCGStab) hergeleitet und die zur Realisierung notwendigen Algorithmen beschrieben. Für Systeme mit strukturierten Matrizen werden effiziente direkte Lösungsverfahren angegeben. Neben linearen Gleichungssystemen mit Blockstrukturen werden auch Hierarchische Matrizen zur effizienten Beschreibung und Anwendung vollbesetzter Matrizen behandelt. Alle Verfahren werden an einfachen Beispielen erläutert und diskutiert.

1 Grundlagen. - 1. 1 Normen von Vektoren und Matrizen. - 1. 2 Eigenwerte und Singulärwerte. - 1. 3 Orthogonalisierung von Vektorsystemen. - 1. 4 Tschebyscheff-Polynome. - 2 Lineare Gleichungssysteme. - 2. 1 Interpolation. - 2. 2 Projektionsmethoden. - 2. 3 Finite Element Methoden. - 2. 4 Randelementmethoden. - 3 Strukturierte Matrizen. - 3. 1 Schnelle Fouriertransformation. - 3. 2 Zirkulante Matrizen. - 3. 3 Toeplitz Matrizen. - 3. 4 Niedrig-Rang-Störung regulärer Matrizen. - 4 Klassische Iterationsverfahren. - 4. 1 Stationäre Iterationsverfahren. - 4. 2 Gradientenverfahren. - 5 Verfahren orthogonaler Richtungen. - 5. 1 Verfahren konjugierter Gradienten. - 5. 2 Verfahren des minimalen Residuums. - 5. 3 Verfahren biorthogonaler Richtungen. - 6 Gleichungssysteme mit Blockstruktur. - 6. 1 Symmetrische Gleichungssysteme. - 6. 2 Blockschiefsymmetrische Systeme. - 6. 3 Zweifache Sattelpunktprobleme. - 7 Hierarchische Matrizen. - 7. 1 Partitionierte Matrizen. - 7. 2 Approximation mit Niedrigrang-Matrizen. - 7. 3 Arithmetik von Hierarchischen Matrizen. - 7. 4 Geometrische Partitionierungen. - 7. 5 Niedrigrang-Approximation von Funktionen. - 7. 6 Anwendungen in der FEM. - Literatur.