In diesem Buch lernen Sie, wie Sie mit Differenzialgleichungen aller Schwierigkeitsstufen umgehen: Sie starten mit Differenzialgleichungen erster Ordnung und erfahren, was mit separierbaren Differenzialgleichungen zu tun ist und was exakte Differenzialgleichungen sind. Anschließend begegnen Ihnen lineare homogene und lineare inhomogene Differenzialgleichungen höherer Ordnung. Lernen Sie die Methode der unbestimmten Koeffizienten und die Methode der Parametervariation kennen. Den wirklich schweren Brocken rücken Sie mit Laplace-Transformationen und Reihenlösungen zu Leibe. Und wenn gar nichts mehr geht, bleiben Ihnen ja immer noch die numerischen Lösungen. Sie funktionieren fast immer.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 17
Ü ber dieses Buch 17
Konventionen in diesem Buch 17
Was Sie nicht lesenmü ssen 18
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 18
Wie dieses Buch aufgebaut ist 18
Teil I: Was Sie alles brauchen - die Zutaten 19
Teil II: Es wird spannend - Differenzialgleichungen erster Ordnung 19
Teil III: Differenzialgleichungen hö herer Ordnung und fortgeschrittene Techniken 19
Teil IV: Der Top-Ten-Teil 20
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 20
Wie es weitergeht 20
Teil I Was Sie Alles Brauchen - Die Zutaten 21
Kapitel 1 Differenzieren - die wichtigste Tä tigkeit in diesem Buch 23
Was ist denn eine Ableitung? 23
Schreibweisen der ersten Ableitung 25
Schreibweise der hö heren Ableitungen 25
Ableitungen der elementaren Funktionen 26
Ableitungsregeln 28
Summen- und Faktorregel 28
Produktregel 28
Quotientenregel 30
Kettenregel 31
Alles zusammen 37
Kapitel 2 Integrieren - genauso wichtig wie das Differenzieren 39
Unbestimmtes Integral 39
Schreibweise mit Schlangenzeichen 42
Bestimmtes Integral 43
Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken 45
Integration durch Substitution 45
Substitution am bestimmten Integral 46
Substitution am unbestimmten Integral 47
Partielle Integration 48
Partielle Integration - die Vorgehensweise 49
Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung 51
Partialbruchzerlegung - die Vorgehensweise 51
Kapitel 3 Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein! 59
Was sind komplexe Zahlen? 60
Die drei Darstellungen 63
Die kartesische Darstellungmit x und y 63
Die Polardarstellung mit r, , Sinus und Kosinus 64
Die exponentielle Darstellung mit r, und der e-Funktion 65
Umrechnung der Darstellungen 65
Umrechnung von (exponentiell beziehungsweise polar) in kartesisch 66
Umrechnung von kartesisch in (exponentiell beziehungsweise polar) 66
Rechnenmit komplexen Zahlen 67
Die konjugiert komplexe Zahl 68
Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 69
Das Multiplizieren komplexer Zahlen 69
Das Dividieren komplexer Zahlen 70
Das Potenzieren komplexer Zahlenmit reellen Potenzen 71
Die n Lö sungen der Gleichung zn = w 71
Die zwei Lö sungen der Mitternachtsformel 73
Kapitel 4 Matrizen und nicht Matratzen 75
Grundlegendes zu den Matrizen 76
Rechnenmit Matrizen 77
Addieren und Subtrahieren von Matrizen 77
Multiplizieren von Matrizen 77
Determinante 81
Berechnung einer (2 × 2)-Determinante 81
Berechnung einer (3 × 3)-Determinante 82
Sarrus-Regel 82
Berechnung einer (n × n)-Determinante 85
Inverse Matrix 86
Kapitel 5 Eigenwertprobleme sind keine Probleme 89
Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? 89
Berechnung der Eigenwerte 90
Berechnung von Eigenvektoren 92
Berechnung reeller Eigenvektoren 92
Berechnung komplexer Eigenvektoren 95
Teil II ES Wird Spannend - Differenzialgleichungen Erster Ordnung 97
Kapitel 6 Was sind Differenzialgleichungen? 99
Ableitungen, Steigungen, Krü mmungen 100
Ort - Geschwindigkeit - Beschleunigung 102
Differenzialgleichungen - Anfangswertprobleme - Randwertprobleme 109
Unterschied zwischen der allgemeinen Lö sung und der Lö sung eines Anfangswertproblems 111
Differenzialgleichungssysteme 112
Gekoppelte Differenzialgleichungen 113
Lineare Systeme - Matrizen 114
Kapitel 7 Fü r jede Differenzialgleichung eine passende Schublade. 117
Differenzialgleichungen klassifizieren 117
Gewö hnlich versus partiell 118
Linearitä t 118
Homogenitä t 119
Ordnung 120
Beispiele 121
Differenzialgleichungssysteme klassifizieren 122
Kapitel 8 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 125
Grundlagen fü r die Lö sung linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung 126
Das groß e Ganze mithilfe der Richtungsfelder erkennen 126
Ein Richtungsfeld zeichnen 126
Verbindung von Steigungen zu einer Integralkurve 127
Erkennen des Gleichgewichtswerts 129
Anfangsbedingungen von Anfang an anwenden 129
Und jetzt lö sen wir Differenzialgleichungen mit Funktionen 131
Und jetzt nehmen wir ein paar Konstanten dazu 131
Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung mithilfe von Integrationsfaktoren lö sen 132
Nach einem Integrationsfaktor suchen 132
Mithilfe eines Integrationsfaktors eine Differenzialgleichung lö sen 133
Der nä chste Schritt: Integrationsfaktoren in Differenzialgleichungen mit Funktionen einsetzen 134
Und jetzt eine ganz besondere Abkü rzung! 135
Ein fortgeschrittenes Beispiel lö sen 137
Prü fen, ob eine Lö sung fü r eine Differenzialgleichung erster Ordnung existiert 140
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz fü r lineare Differenzialgleichungen 140
Die allgemeine Lö sung finden 141
Ein paar Beispiele fü r Existenz und Eindeutigkeit 142
Feststellen, ob es eine Lö sung fü r eine nichtlineare Differenzialgleichung gibt 143
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz fü r nichtlineare Differenzialgleichungen 144
Beispiele fü r den Existenz- und Eindeutigkeitssatz fü r nichtlineare Differenzialgleichungen 144
Kapitel 9 Separierbare Differenzialgleichungen erster Ordnung 147
Die Grundlagen separierbarer Differenzialgleichungen 148
Einfach anfangen: Lineare separierbare Gleichungen 149
Implizite Lö sungen 149
Explizite Lö sungen aus impliziten Lö sungen ableiten 151
Schwer zu knacken: Wann es keine explizite Lö sung gibt 154
Trick: Nichtlineare separierbare Gleichungen in lineare separierbare Gleichungen umwandeln 155
Einige separierbare Gleichungen aus der Praxis 157
Ein Flussproblem in den Griff bekommen 157
Eine monetä re Aufgabenstellung 160
Partialbrü che in separierbaren Gleichungen 164
Kapitel 10 Exakte Differenzialgleichungen erster Ordnung und die Euler-Methode 167
Grundlagen exakter Differenzialgleichungen 167
Exakte Differenzialgleichungen definieren 168
Eine typische exakte Differenzialgleichung berechnen 169
Feststellen, ob eine Differenzialgleichung exakt ist 170
Einen praktischen Satz ausprobieren 170
Den Satz anwenden 171
Nicht exakte Differenzialgleichungen mit Integrationsfaktoren bezwingen 173
Einen Integrationsfaktor finden 174
Mithilfe eines Integrationsfaktors eine exakte Gleichung erhalten 176
Der letzte Schliff: Die exakte Gleichung lö sen 177
Mit der Euler-Methode numerisch werden 178
Die Methode verstehen 178
Die Genauigkeit der Methode auf einem Computer ü berprü fen 180
Differenzengleichungen 186
Ein bisschen praktische Terminologie 186
Iterative Lö sungen 187
Gleichgewichtslö sungen 188
Teil III Differenzialgleichungen Hö herer Ordnung Und Fortgeschrittene Techniken. 191
Kapitel 11 Lineare Differenzialgleichungen hö herer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 193
Grundlegendes und Wissenswertes 194
Stufe 1: Die allgemeine Lö sung der homogenen Differenzialgleichung 195
Charakteristisches Polynom 197
Stufe 2: Die partikulä re Lö sung der inhomogenen Differenzialgleichung 205
Ansatz fü r y (x) 206
Bestimmung der Konstanten aus dem Ansatz 211
Beispiele - Beispiele - Beispiele 214
Erstes Beispiel 214
Abschließ endes Beispiel der ü bleren Sorte 216
Gleichungen mit der Methode der Parametervariation lö sen 220
Ein typisches Beispiel 221
Die Methode auf beliebige lineare Gleichungen anwenden 223
Die speziellen und allgemeinen Lö sungen der inhomogenen Gleichung 224
Ein schö nes Paar! Die Parametervariation trifft die Wronski-Determinante 226
Kapitel 12 Es wird ernst: Potenzreihen und regulä re Punkte 229
Grundlagen der Potenzreihen 229
Mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Potenzreihe feststellen 230
Die Grundlagen des Quotientenkriteriums 230
Den Reihenindex verschieben 233
Taylor-Reihen 233
Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe von Potenzreihen lö sen 234
Wenn Sie die Lö sung bereits kennen 235
Wenn die Lö sung nicht im Voraus bekannt ist 242
Ein berü hmtes Problem: Die Airy-Gleichung 245
Kapitel 13 Singulä re Punkte 249
Die Grundlagen singulä rer Punkte 249
Singulä re Punkte finden 250
Das Verhalten singulä rer Punkte 250
Regulä re und irregulä re singulä re Punkte 251
Erstaunliche Euler-Gleichungen 255
Reelle und unterschiedliche Nullstellen 256
Reelle und gleiche Nullstellen 257
Komplexe Nullstellen 258
Mit einem Satz alles zusammenfassen 260
Reihenlö sungen in der Nä he singulä rer Punkte bestimmen 260
Die allgemeine Lö sung identifizieren 260
Grundlagen fü r die Lö sung von Gleichungen in der Nä he singulä rer Punkte 262
Mit den Nullstellen arbeiten 264
Ein numerisches Beispiel fü r die Lö sung einer Gleichung in der Nä he singulä rer Punkte 265
Die zweite Nullstelle einsetzen 268
Eine genauere Betrachtung der Kenngleichungen 270
Kapitel 14 Laplace-Transformationen 273
Eine typische Laplace-Transformation genauer betrachten 273
Entscheiden, wann eine Laplace-Transformation konvergiert 274
Grundlegende Laplace-Transformationen berechnen 275
Die Transformation von 1 276
Die Transformation von 276
Die Transformation von sin(at) 276
Eine praktische Tabelle sorgt fü r Erleichterung 278
Differenzialgleichungen mithilfe von Laplace-Transformation lö sen 279
Einige Sä tze bringen Sie auf den Weg 280
Eine homogene Gleichung zweiter Ordnung lö sen 281
Eine inhomogene Gleichung zweiter Ordnung lö sen 285
Eine Gleichung hö herer Ordnung lö sen 289
Laplace-Transformationen faktorisieren und Faltungsintegrale 291
Eine Laplace-Transformation in Brü che faktorisieren 292
Faltungsintegrale genauer betrachten 292
Schrittfunktionen beobachten 294
Definition der Schrittfunktion 294
Die Laplace-Transformation der Schrittfunktion ermitteln 295
Kapitel 15 Drei ausfallsichere numerische Methoden 297
Zahlenknackenmit der Euler-Methode 298
Die Grundlagen der Methode 298
Mithilfe von Code die Methode in der Praxis beobachten 299
Die verbesserte Euler-Methode 303
Die Verbesserungen 304
Der neue Code 304
Eine steilere Steigung in den neuen Code einfü gen 309
Nochmehr Genauigkeit durch die Runge-Kutta-Methode 313
Die Rekursionsrelation der Methode 313
Mit der Methode im Code arbeiten 314
Kapitel 16 Differenzialgleichungssysteme 319
Die Metamorphose: Verwandlung in ein Differenzialgleichungssystem 320
Beispiel 1 fü r die sagenhafte Umwandlung 320
Beispiel 2 fü r die sagenhafte Umwandlung 321
Lö sen von linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 322
Mit dem richtigen Ansatz zum Ziel finden 324
Beispiel zu reellen und verschiedenen Eigenwerten 326
Beispiel zu reellen und teilweise gleichen Eigenwerten 328
Beispiel zu teilweise konjugiert komplexen Eigenwerten 330
Teil IV Der Top-Ten-Teil 335
Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie ü ber Differenzialgleichungen wissen MÜ SSEN 337
Nahe Verwandte 337
Die Erbanlage 337
Tage der Vernunft 337
Eulers Groß eltern 337
Ein besonderer Acker 338
Typisch Mathematiker 338
Persö nlichkeitsstö rung 338
Exotische Vö gel 338
Aufgaben der Bä ume 338
Unerwartete Gemeinsamkeiten 338
Lö sungen 339
Stichwortverzeichnis 341
