Eine kombinierte Einführung in die Algebra bis zur Galoistheorie und ihren klassischen Anwendungen sowie in die Zahlentheorie. Dabei profitiert die Algebra von den Motivationen und dem reichen Beispielmaterial der Zahlentheorie; letztere gewinnt an Klarheit und Kürze durch Strukturen und Sätze der Algebra.
Inhaltsverzeichnis
1 Ganze Zahlen, Teilbarkeit.- 1.1 Natürliche und ganze Zahlen.- 1.2 Größter gemeinsamer Teiler, euklidischer Algorithmus.- 1.3 Primfaktorzerlegung.- 1.4 Primzahlen.- 1.5 Kongruenzen und Reste.- 1.6 Aufgaben.- 2 Gruppen.- 2.1 Definition, Beispiele, elementare Eigenschaften.- 2.2 Untergruppen und Homomorphismen.- 2.3 Index und Ordnung.- 2.4 Normalteiler und Faktorgruppen.- 2.5 Isomorphiesätze.- 2.6 Operation von Gruppen auf Mengen.- 2.7 Sylowuntergruppen.- 2.8 Produkte und universelle Eigenschaften.- 2.9 Endliche abelsche Gruppen.- 2.10 Aufgaben.- 3 Ringe.- 3.1 Grundbegriffe.- 3.2 Ideale und Restklassenringe.- 3.3 Polynome.- 3.4 Euklidische und faktorielle Ringe.- 3.5 Diophantische Probleme für Zahlen und Polynome.- 3.6 Aufgaben.- 4 Arithmetik modulo n.- 4.1 Multiplikative zahlentheoretische Funktionen.- 4.2 Die Struktur der primen Restklassengruppe.- 4.3 Quadratische Reste.- 4.4 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.- 4.5 Das Jacobisymbol.- 4.6 Verzweigung von Primzahlen.- 4.7 Aufgaben.- 5 Primzahltests und Primfaktorzerlegung.- 5.1 Das RSA-Schema.- 5.2 Der Kleine Fermatsche Satz als Primzahltest.- 5.3 Riemannsche Vermutung und probabilistische Primzahltests.- 5.4 Faktorisierungsverfahren.- 5.5 Ein Ausblick auf elliptische Kurven.- 5.6 Aufgaben.- 6 Körper und Körpererweiterungen.- 6.1 Grundbegriffe.- 6.2 Algebraische Körpererweiterungen.- 6.3 Der algebraische Abschluß.- 6.4 Normalität und Separabilität.- 6.5 Transzendente Körpererweiterungen.- 6.6 Aufgaben.- 7 Galoistheorie.- 7.1 Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 7.2 Kreisteilungskörper.- 7.3 Endliche Körper.- 7.4 Quadratische Gaußsche Summen.- 7.5 Nochmals das quadratische Reziprozitätsgesetz.- 7.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 7.7 Kummer-Theorie. Auflösung algebraischer Gleichungen.- 7.8Einfache Gruppen.- 7.9 Einfache lineare Gruppen.- 7.10 Arithmetik der Werte der e-Funktion.- 7.11 Aufgaben.
