Dieses Buch will dem Leser eine Einführung in wichtige Techniken und Methoden der heutigen reellen Algebra und Geometrie vermitteln. An Voraussetzungen werden dabei nur Grundkenntnisse der Algebra erwartet, so daß das Buch für Studenten mittlerer Semester geeignet ist. Das erste Kapitel enthält zunächst grundlegende Fakten über angeordnete Körper und ihre reellen Abschlüsse und behandelt dann verschiedene Methoden zur Bestimmung der Anzahl reeller Nullstellen von Polynomen. Das zweite Kapitel befaßt sich mit reellen Stellen und gipfelt in Artins Lösung des 17. Hilbertschen Problems. Kapitel III schließlich ist dem noch jungen Begriff des reellen Spektrums und seinen Anwendungen gewidmet."Neben dem 1987 erschienenen "Géometrie algébrique réelle" von J. Bochnak-M. Coste- M. Roy stellt die vorliegende Monographie das erste Lehrbuch auf diesem Gebiet dar. . . Damit liegt eine sehr empfehlenswerte Einführung. . . vor. . ." (H. Mitsch, Monatshefte für Mathematik 3/111, 1991)
Inhaltsverzeichnis
I Angeordnete Körper und ihre reellen Abschlüsse.- §1. Anordnungen und Präordnungen von Körpern.- §2. Quadratische Formen, Wittringe, Signaturen.- §3. Fortsetzung von Anordnungen.- §4. Die Primideale des Wittrings.- §5. Reell abgeschlossene Körper und ihre körpertheoretische Charakterisierung.- §6. Galoistheoretische Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper.- §7. Zählen reeller Nullstellen von Polynomen (ohne Vielfachheiten).- §8. Begriffliche Deutung der Sylvesterform.- §9. Cauchy-Index einer rationalen Funktion, Bézoutiante und Hankelformen.- §10. Eine obere Abschätzung für die Anzahl reeller Nullstellen (mit Vielfachheiten).- §11. Der reelle Abschluß eines angeordneten Körpers.- §12. Verlagerung quadratischer Formen.- II Konvexe Bewertungsringe und reelle Stellen.- §1. Konvexe Teilringe angeordneter Körper.- §2. Bewertungsringe.- §3. Ganze Elemente.- §4. Bewertungen, Ideale von Bewertungsringen.- §5. Restklassenkörper und Teilkörper von konvexen Bewertungsringen.- §6. Die Topologie von angeordneten und bewerteten Körpern.- §7. Der Satz von Baer-Krull.- §8. Reelle Stellen.- §9. Die Anordnungen von R(t),R((t)) und Quot IR {t}.- §10. Komposition und Zerlegung von Stellen.- §11. Existenz von reellen Stellen auf Funktionenkörpern.- §12. Artins Lösung des 17. Hilbertschen Problems und das Zeichenwechsel Kriterium.- III Das reelle Spektrum.- §1. Das Zariski-Spektrum. Affine Varietäten.- §2. Realität in kommutativen Ringen.- §3. Definition des reellen Spektrums.- §4. Konstruierbare Teilmengen und spektrale Räume.- §5. Die geometrische Situation: Semialgebraische Mengen und Filtersätze.- §6. Der Raum der abgeschlossenen Punkte.- §7. Spezialisierungen und konvexe Ideale.- §8. Das reelle Spektrum und der reduzierteWittring eines Körpers.- §9. Präordnungen von Ringen und Positivstellensätze.- §10. Die konvexen Radikalideale zu einer Präordnung.- §11. Beschränktheit.- §12. Prüferringe und reeller Holomorphiering eines Körpers.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.
