Einführung in die algebraische Geometrie

Dieses Buch kann als Fortsetzung der "Algebra" desselben Autors angesehen werden. Es handelt von algebraischen Varietäten im affinen und projektiven Raum, das sind die Lösungsmengen von Systemen algebraischer Gleichungen. Im Mittelpunkt stehen die grundlegenden Begriffe, wie reguläre und rationale Funktionen, Dimensionen, Singularitäten und deren Eigenschaften. Darüber hinaus wird zum Konzept des Schemas hingeführt und dessen Nutzen in der Schnitt-Theorie gezeigt. An algebraischen Hilfsmitteln wird nur das verwendet, was zu einer einführenden Vorlesung gehört. Weitergehende Techniken der kommutativen Algebra sind in einem Anhang bereitgestellt. Außerdem können Abbildungen und Übungsaufgaben dem Leser helfen, sich mit diesem besonders faszinierenden Teil der Geometrie anzufreunden.

Kap. I. Affine algebraische Varietäten. - § 1. Definition und erste Eigenschaften affiner algebraischer Varietäten. - § 2. Schnitt einer Hyperfläche mit einer Geraden. - § 3. Das Verschwindungsideal einer algebraischen Varietät. - § 4. Zerlegung einer Varietät in irreduzible Komponenten. - § 5. Der Koordinatenring einer algebraischen Varietät. - Kap. II. Projektive algebraische Varietäten. - § 1. Der n-dimensionale projektive Raum. - § 2. Projektive algebraische Varietäten. - § 3. Projektive Abschließung affiner Varietäten. - § 4. Der Hauptsatz der Eliminationstheorie. - Kap. III. Das Spektrum eines Rings. - § 1. Die Zariski-Topologie. - § 2. Das homogene Spektrum eines graduierten Rings. - § 3. Weitere Eigenschaften der Zariski-Topologie. - Kap. IV. Reguläre und rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten. - § 1. Reguläre Funktionen. - § 2. Rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten. - § 3. Die lokalen Ringe in den Punkten algebraischer Varietäten. - Kap. V. Schemata. - § 1. Geringte Räume. - § 2. Affine Schemata. - § 3. Der Begriff des Schemas. - § 4. Projektive Schemata. - Kap. VI. Dimensionstheorie. - § 1. Die Krulldimension von topologischen Räumen und Ringen. - § 2. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen. - § 3. Dimension affiner algebraischer K-Schemata und affiner K-Algebren. - § 4. Dimension affiner und projektiver algebraischer Varietäten. - § 5. Der Krullsche Hauptidealsatz. Dimension des Schnitts zweier Varietäten. - § 6. Dimension noetherscher lokaler Ringe. Parametersysteme. - Kap. VII. Reguläre und singuläre Punkte algebraischer Varietäten. - § 1. Reguläre Punkte. Reguläre lokale Ringe. - § 2. Dimension und Tiefe. Cohen-Macaulay-Varietäten. - § 3. Vollständige Durchschnitte. - § 4. Gorenstein-Varietäten. - Kap. VIII. Algebraische Gleichungssysteme mit nur endlich vielen Lösungen. - § 1. Der Satz von Bézout. - § 2. Fortführung der Schnitt-Theorie. - Anhang. Kommutative Algebra. - A. Graduierte Ringe und Moduln. - B. Lokalisation und homogene Lokalisation. - C. Moduln über noetherschen Ringen. - D. Filtrierte Algebren und Moduln. - E. Reguläre und quasireguläre Folgen. - F. Idealquotienten. - Literatur. - Sachwortverzeichnis.